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导言:
定义:
一、边和度的概念：
1.1 无向图中的边和度：
1.2 有向图中的边和度：
1.3 度序列和握手定理：
二、弧和度的关系：
2.1 有向图中的弧和度：
2.2 度序列和握手定理在有向图中的应用：
2.3 邻接矩阵和邻接表在有向图中的表示：
2.4 强连通图：
三、完全图：
3.1 完全图的定义：
3.2 完全图的度：
3.3 完全图的表示和操作：
四、连通图：
4.1 连通图的定义：
无向连通图： 如果一个无向图是连通的，那么它就是无向连通图。也就是说，任意两个顶点之间都存在一条无向路径。
有向连通图： 如果一个有向图是连通的，那么它就是有向连通图。对于任意两个顶点，存在一条有向路径从一个顶点到达另一个顶点。
4.2 连通图的表示和操作：
DFS判断连通性： 使用深度优先搜索，从一个起始顶点开始，递归地访问与之相邻的未访问过的顶点，标记已访问的顶点。如果所有顶点都能被访问到，那么图是连通的。
BFS判断连通性： 使用广度优先搜索，从一个起始顶点开始，逐层访问与之相邻的未访问过的顶点，标记已访问的顶点。如果所有顶点都能被访问到，那么图是连通的。
导言:
图论作为离散数学的一部分，是计算机科学中重要的基础理论之一。在C语言数据结构中，图的表示和应用也是一个关键领域。本文将介绍图论的基础概念，包括边、度、弧、以及两个重要类型的图——完全图和连通图，并结合C语言数据结构进行应用。
定义:
图 (Graph) 是一种复杂的非线性数据结构， 由顶点集合及顶点间的关系（也称弧或边）集合 组成。可以表示为： G＝(V, VR) 其中 V 是顶点的有穷非空集合； VR 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做弧或边集合。弧是顶点 的有序对，边是顶点的无序对。
一、边和度的概念：
在图论中，边是连接图中两个顶点的关系，它是图中最基本的元素之一。边可以是有向的或无向的，这决定了连接两个顶点的方向性。图的边可以用来表示不同实体之间的关系，例如在社交网络中，顶点可以代表个人，边则表示两个个人之间的关系。
1.1 无向图中的边和度：
在无向图中，边没有方向。如果图中有一条连接顶点A和顶点B的边，那么同样存在一条连接顶点B和顶点A的边。一个顶点的度是指与之相邻的边的数量。在无向图中，顶点的度等于与之相连的边的数量。
1.2 有向图中的边和度：
有向图中的边有方向，从一个顶点指向另一个顶点。每条边都有一个始点和一个终点。一个顶点的出度是从该顶点出发的边的数量，入度是指向该顶点的边的数量。一个顶点的度等于其出度和入度之和。
在C语言中，可以使用邻接矩阵或邻接表表示图的边和度信息。邻接矩阵是一个二维数组，其中元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否有边；邻接表则是一个链表数组，每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
1.3 度序列和握手定理：
度序列是一个图中所有顶点度数的序列。握手定理指出，对于任意一个图，其所有顶点的度数之和等于边数的两倍。即，对于一个无向图，2×边数=所有顶点的度数之和2×边数=所有顶点的度数之和；对于一个有向图，2×边数=所有顶点的度数之和2×边数=所有顶点的度数之和。
二、弧和度的关系：
在有向图中，边被称为弧，它有方向性，表示从一个顶点指向另一个顶点的箭头。与边相似，弧也带有度的概念，分为入度和出度。以下是更详细的讨论：
2.1 有向图中的弧和度：
考虑一个有向图，其中有三个顶点A、B和C，它们之间有以下有向弧：
- 有向弧A → B，表示从A指向B的方向
- 有向弧B → C，表示从B指向C的方向
- 有向弧C → A，表示从C指向A的方向
每个顶点的入度和出度如下：
- 顶点A的入度为1，出度为1
- 顶点B的入度为1，出度为1
- 顶点C的入度为1，出度为1
一个顶点的度等于其入度和出度之和。握手定理同样适用于有向图。
2.2 度序列和握手定理在有向图中的应用：
度序列在有向图中的应用与无向图类似。考虑有向图的度序列1,1,11,1,1，它表示每个顶点的度数都是1。握手定理在这里也成立，因为2×边数=2×3=6=所有顶点的度数之和2×边数=2×3=6=所有顶点的度数之和。
2.3 邻接矩阵和邻接表在有向图中的表示：
在C语言数据结构中，有向图可以使用邻接矩阵或邻接表来表示。邻接矩阵是一个二维数组，其中元素a[i][j]表示从顶点i到顶点j的有向弧的存在。邻接表是一个链表数组，每个顶点对应一个链表，链表中存储从该顶点出发的有向弧。
2.4 强连通图：
在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在双向路径（即A到B有路径，B到A也有路径），则该有向图是强连通图。强连通图中的任意两个顶点都可以通过有向路径互相到达。
三、完全图：
完全图是图论中一个重要的概念，它是每一对不同的顶点都有一条边相连的图。在C语言数据结构中，我们可以通过邻接矩阵或邻接表来表示完全图，并对其进行相关操作。
3.1 完全图的定义：
一个完全图具有以下特点：
- 每一对不同的顶点之间都存在一条边。
- 对于n个顶点的完全图，边的数量为n×(n-1)/2
3.2 完全图的度：
考虑一个完全图，如果有n个顶点，每个顶点的度都是n-1，因为每个顶点都与其他所有顶点相连。
3.3 完全图的表示和操作：
在C语言中，可以使用邻接矩阵或邻接表来表示完全图。
- 邻接矩阵表示： 完全图的邻接矩阵是一个二维数组，其中元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否有边。对于完全图，矩阵的主对角线上的元素都是0，其他元素都是1。
int completeGraph[MAX][MAX];
// 初始化完全图的邻接矩阵
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i == j) {
completeGraph[i][j] = 0; // 主对角线上的元素为0
} else {
completeGraph[i][j] = 1; // 其他元素为1
}
}
}
邻接表表示： 完全图的邻接表中，每个顶点的链表都包含所有其他顶点。每个节点表示一个边。
struct Node {
int vertex;
struct Node* next;
};
struct Graph {
struct Node* adjacencyList[MAX];
};
// 初始化完全图的邻接表
struct Graph completeGraph;
for (int i = 0; i < n; i++) {
completeGraph.adjacencyList[i] = NULL;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i != j) {
// 添加边
struct Node* newNode = (struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));
newNode->vertex = j;
newNode->next = completeGraph.adjacencyList[i];
completeGraph.adjacencyList[i] = newNode;
}
}
}
四、连通图：
连通图是图论中另一个基本概念，它指的是图中任意两个顶点都能通过边的路径相连。在C语言数据结构中，我们可以通过深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）等算法来判断图的连通性，寻找路径等。
4.1 连通图的定义：
一个图被称为连通图，如果对于图中的任意两个不同的顶点，存在一条路径使它们相连。连通图分为无向连通图和有向连通图两种情况。
-
无向连通图： 如果一个无向图是连通的，那么它就是无向连通图。也就是说，任意两个顶点之间都存在一条无向路径。
-
有向连通图： 如果一个有向图是连通的，那么它就是有向连通图。对于任意两个顶点，存在一条有向路径从一个顶点到达另一个顶点。
4.2 连通图的表示和操作：
在C语言中，我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图，并通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）等算法来判断图的连通性。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-777559.html
DFS判断连通性： 使用深度优先搜索，从一个起始顶点开始，递归地访问与之相邻的未访问过的顶点，标记已访问的顶点。如果所有顶点都能被访问到，那么图是连通的。
void DFS(int vertex, int visited[], struct Graph* graph) {
visited[vertex] = 1; // 标记当前顶点为已访问
// 访问与当前顶点相邻的未访问过的顶点
struct Node* current = graph->adjacencyList[vertex];
while (current != NULL) {
if (!visited[current->vertex]) {
DFS(current->vertex, visited, graph);
}
current = current->next;
}
}
BFS判断连通性： 使用广度优先搜索，从一个起始顶点开始，逐层访问与之相邻的未访问过的顶点，标记已访问的顶点。如果所有顶点都能被访问到，那么图是连通的。
void BFS(int start, int visited[], struct Graph* graph) {
// 使用队列实现广度优先搜索
int queue[MAX];
int front = 0, rear = 0;
visited[start] = 1;
queue[rear++] = start;
while (front < rear) {
int currentVertex = queue[front++];
struct Node* current = graph->adjacencyList[currentVertex];
while (current != NULL) {
if (!visited[current->vertex]) {
visited[current->vertex] = 1;
queue[rear++] = current->vertex;
}
current = current->next;
}
}
}
连通图中任意两个顶点都能通过边的路径相连。使用深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）等算法，我们可以判断图的连通性和找到路径。这在网络设计、路径规划等领域具有实际应用。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-777559.html
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