线性代数Python计算：线性方程组的最小二乘解

给定ℝ上无解线性方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，构造${\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{A}$及${\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{b}$，然后调用博文《线性方程组的通解》定义的mySolve函数，解方程组${\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{Ax}={\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{b}$。取任一特解${\mathbf{x}}_0$即为解线性方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$的一个最小二乘解（即$\mathbf{A}$的列向量生成空间中距$\mathbf{b}$最近的向量）。
例1 用Python计算无解方程组$\{\begin{array}{l}4x_1+2x_2-x_3=2\\ 3x_1-x_2+2x_3=10\\ 11x_1+3x_2=8\end{array}$的最小二乘解。

import numpy as np                              #导入numpy
from fractions import Fraction as F             #导入Fraction
np.set_printoptions(formatter=                  #设置输出数据格式
                    {'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
A=np.array([[4,2,-1],                           #设置系数矩阵A
            [3,-1,2],
            [11,3,0]],dtype='float')
b=np.array([2,10,8])                            #常数项量b
B=np.matmul(A.T,A)                              #A的转置与A的积
c=np.matmul(A.T,b.reshape(3,1))                 #A的转置与b的积
X=mySolve(B,c)                                  #解最小二乘方程组
print(X[:,0])

程序的第5~7行设置原方程组的系数矩阵A，第8行设置原方程组的常数向量b。第9行调用numpy的matmul函数计算${\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{A}$，存于B。第10行计算${\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{Ab}$，存于c。第11行调用函数mySolve（见博文《线性方程组的通解》）解方程组${\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{Ax}={\mathbf{A}}^{\text{T}}\mathbf{b}$，解集记为X。注意，X中第1列（X[:,0]）存储的是方程组的特解。运行程序，输出

[9/5 -18/5 0]

即原方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$的最小二乘解为 x 0 = ( 9 5 − 18 5 0 ) \boldsymbol{x}_0=\begin{pmatrix}\frac{9}{5}\\-\frac{18}{5}\\0\end{pmatrix} x0​= ​59​−518​0​ ​。它是 α 1 = ( 4 3 1 ) , α 2 = ( 2 − 1 3 ) , α 3 = ( 1 2 0 ) \boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} α1​= ​431​ ​,α2​= ​2−13​ ​,α3​= ​120​ ​的生成子空间$W$中距 b = ( 2 10 8 ) \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\10\\8\end{pmatrix} b= ​2108​ ​最近的向量。
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