MATLAB教程七：MATLAB符号计算

7.1 符号对象

符号对象的建立：

sym函数：用于建立单个符号对象，其常用调用格式为：

                                 符号对象名=sym(A)

将由 A 来建立符号对象。其中，A 可以是一个数值常量、数值矩阵或数值表达式（不加单引号），此时符号对象为一个符号常量；A也可以是一个变量名（加单引号），这时符号对象为一个符号变量。

>> t=sym(2);
>> t+1/2
ans=
	5/2
>> sin(sym(pi/3))
ans =
	3^(1/2)/2
>> sin(pi/3)
ans =
	0.8660

syms命令：可以一次定义多个符号变量，其一般调用格式如下：

             syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

其中，变量名不能加单引号，相互之间用空格隔开。

符号对象的运算：

四则运算：符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^ 运 算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。

>> syms x;
>> f=2*x^2+3*x-5;
>> g=x^2-x+7;
>> f+g
ans =
	3*x^2 + 2*x + 2

关系运算：

6种关系运算符：<、<=、>、>=、==、～=。

对应的6个函数：lt()、le()、gt()、ge()、eq()、ne()。

逻辑运算：

3种逻辑运算符：&（与）、|（或）和～（非）。

4个逻辑运算函数：and(a,b)、or(a,b)、not(a)和xor(a,b)。

>> syms x;
>> y=and(x>0,x<10)
y=
	0<x & x<10

因式分解与展开运算：

• factor(s)：对符号表达式s分解因式，也可以对数进行分解质因子。
• expand(s)：对符号表达式s进行展开。
• collect(s)：对符号表达式s合并同类项。
• collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。

>> syms a b;
>> s=a^3-b^3;
>> factor(s) 
ans=
	[ a-b, a^2 + a*b + b^2]
>> factor(12)
ans=
2 2 3

>> syms x;
>> y=(x+2)^3;
>> expand(y)
ans =
	x^3 + 6*x^2 + 12*x + 8

其他运算：

• [n,d]=numden(s)：提取有理分式的分子分母。
• c=coeffs(s,x)：提取符号表达式的系数。
• simplify(s)：符号表达式化简。
• p=sym2poly(s)：符号多项式转换为多项式系数向量。
• s=poly2sym§：多项式系数向量转换为符号多项式。

例：求方程ax2+bx+c=0的根。

>> syms a b c x;
>> f=a*x^2+b*x+c
f =
a*x^2 + b*x + c
>> g=coeffs(f,x)
g =
[c, b, a]
>> g=g(end:-1:1)
g =
[a, b, c]
>> roots(g)
ans =
	-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
	-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

符号矩阵：

符号矩阵：也是一种符号表达式，所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。

注意：这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。

例：建立符号矩阵并化简

>> syms a b x y alp;
>> m=[a^3-b^3,sin(alp)^2+cos(alp)^2;(15*x*y-3*x^2)/(x-5*y),78]
m =
	[                   a^3 - b^3, cos(alp)^2 + sin(alp)^2]
	[(- 3*x^2 + 15*y*x)/(x - 5*y),                      78]
>> simplify(m)
ans =
	[a^3 - b^3,  1]
	[     -3*x, 78]

7.2 符号微积分

符号函数的极限：

• limit(f,x,a)：求符号函数极限的命令为 limit，即求函数 f 关于变量 x 在 a 点的极限。
• limit(f,x,a,‘right’) ：求函数 f 关于变量 x 在 a 点的左极限。
• limit(f,x,a,‘left’)：求函数 f 关于变量x 在 a 点的右极限。

例：求下列极限
$$(1)\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a}}{x-a}(2)\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n$$

>> syms a m x n;
>> f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
>> limit(f,x,a)  
ans =
	a^(1/m - 1)/m
	
>> g=(1+1/n)^n;
>> limit(g,n,inf) 
ans =
	exp(1)

符号函数的导数：

• diff(f,x,n)：即求函数 f 关于变量 x 的 n 阶导数。参数 x 的用法同求极限函数 limit，可以缺省，默认值与 limit 相同，n 的默认值是1。

例：求下列函数的导数
$$(1)y=\sqrt{1+e^x},求y’(2)z=\frac{x{e}^y}{y^2},求z_x^{\prime }、z_y^{\prime }$$

>> syms x y z;
>> f=sqrt(1+exp(x));
>> diff(f) 
ans =
	exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2))
	
>> g=x*exp(y)/y^2;
>> diff(g,x) 
ans =
	exp(y)/y^2 
>> diff(g,y) 
ans =
	(x*exp(y))/y^2 - (2*x*exp(y))/y^3

符号函数的积分：

不定积分：

• int(f,x)：求函数 f 对变量 x 的不定积分。

例：求下列不定积分
$$(1)\int (3-x^2{)}^{3}dx(2)\int \frac{5xt}{1+x^2}dt$$

>> syms x t;
>> f=(3-x^2)^3;
>> int(f)
ans = 
	- x^7/7 + (9*x^5)/5 - 9*x^3 + 27*x 
>> g=5*x*t/(1+x^2);
>> int(g,t) 
ans = 
	(5*t^2*x)/(2*(x^2 + 1))

定积分：

• int(f,x,a,b)：求函数 f 对变量 x 的不定积分。其中，a、b分别表示定积分的下限和上限。

例：求下列定积分
$$(1){\int }_1^2|1-x|dx(2){\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}dx(3){\int }_2^{sinx}\frac{4x}{t}dt$$

>> syms x t;
>> int(abs(1-x),1,2)   
ans =
	1/2
>> int(1/(1+x^2),-inf,inf)
ans =
	pi
>> int(4*x/t,t,2,sin(x))
ans =
	4*x*(log(sin(x)) - log(2))

7.3 级数

级数求和：

• symsum(s,v,n,m)：求无穷级数的和。其中，s 表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v 是求和变量，v 省略时使用系统的默认变量。n 和 m 是求和变量 v 的初值和末值。

例：求下列级数之和
$$\begin{gathered} S_1=1+4+9+16+\cdots +10000 \\ {S}_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}+\dots \\ {S}_3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{1}{2n-1}+\dots \end{gathered}$$

>> syms n;
>> S1=symsum(n^2,1,100) 
S1 =
	338350 
>> S2=symsum((-1)^(n-1)/n,1,inf) 
S2 = 
	log(2) 
>> S3=symsum((-1)^(n-1)/(2*n-1),n,1,inf) 
S3 =
	hypergeom([-1/2, 1], 1/2, -1) - 1          % 超几何函数

泰勒级数：

• taylor(f,v,a,Name,Value)：将函数展开为幂级数。该函数将函数 f 按变量 v 在 a 点展开为泰勒级数，v 的默认值与 diff 函数相同，a 的默认值是 0。 Name 和Value 为选项设置，经常成对使用，前者为选项名，后者为该选项的值。

Name有3个可取字符串：

1、‘ExpansionPoint’：指定展开点，对应值可以是标量或向量。未设置时，展开点为0。

2、‘Order’：指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断参数为6，即展开式的最高阶为5。

3、‘OrderMode’：指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为 ‘Absolute’ 或’Relative’。 未设置时取’Absolute’。

例：求函数 f 在 x=1 处的5阶泰勒级数展开式。
$$f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}$$

>> syms x;
>> f=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);
>>taylor(f,x,1,'Order',6)
ans =
	2*(x - 1)^3 - 2*(x - 1)^2 - 2*(x - 1)^5 + 3
>> expand(ans) 
ans = 
	- 2*x^5 + 10*x^4 - 18*x^3 + 12*x^2 + 1

例：利用泰勒展开式计算三角函数的值。

>> syms x;
>> f=taylor(cos(x),x,pi)
f =
	(x - pi)^2/2 - (x - pi)^4/24 - 1
>> x=3;
>> eval(f)
ans =
   -0.9900
>> cos(3)
ans =
   -0.9900

7.4 符号方程求解

代数方程符号求解：

• solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为 默认变量。

• solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量 为v。

• solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式 s1，s2，…，sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1， v2，…，vn。

例：解方程 $$a{x}^2+bx+c=0$$

>> syms x y a b c; 
>> solve(a*x^2+b*x+c==0)
ans =
	-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
	-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

常微分方程的符号求解：

• dsolve(e,c,v)：用于求解常微分方程 e 在初值条件 c 下的特解。参数 v 是方程中的自变量，省略时按默认原则处理，若没有给出初值条件 c，则求方程的通解。
• dsolve(e1,e2,…,en,c1,c2,…,cn,v)：用于求解常微分方程组 e1, e2, …, en 在初值条件 c1, c2, …, cn 下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解。v 给出求解变量，如果没有指定自变量， 则采用默认自变量t。

注意：在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y’，D2y表示y’‘， Dy(0)=5表示y’(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y’‘’+y’‘+y’-x+5=0。

例：求下列微分方程或方程组的解。
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2x^2}\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=4x-2y\\ \frac{dy}{dt}=2x-y\end{array}$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-419134.html

>> syms x y t;
>> y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2',x)
y =
							x
	-x*(1/(C5 + log(x)/2) - 1)
>> [x,y]=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y',t)
x =
	C8/2 + 2*C7*exp(3*t)
y =
	C8 + C7*exp(3*t)

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