概率论发展史上的几个经典问题

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了概率论发展史上的几个经典问题。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1.巴拿赫的火柴盒问题

巴拿赫 Stefan Banach 是 20 世纪初最重要的数学家之一——如果你对流行数学感兴趣，你就会听说过 Banach-Tarski 悖论；如果你做过任何严肃的线性代数，你就会知道巴拿赫空间；如果你读过《破解数学》，你就会从苏格兰咖啡馆的章节中认出他的名字。很明显，从以他命名的事物列表中选择了一个不太严肃的例子：巴拿赫的火柴盒问题。这个问题应该并不直接归咎于巴拿赫，这个概率问题主要是想取笑巴拿赫抽了多少烟，更确切地说是关于火柴盒与火柴的问题。

概率论发展史上的几个经典问题

问题描述

爱抽烟的数学家巴拿赫教授在左右口袋各放入了一盒火柴，他每次吸烟时，都随机的从左右口袋中掏出一盒火柴点烟（从左右口袋掏火柴盒的概率均为1/2），而且每次掏火柴的习惯是相互独立的。假定开始时左右口袋中的火柴盒各放入火柴根数为n。在每一天，他从任一口袋中随机取出一根火柴。在某个时候，他伸手去拿一根火柴，发现他挑选的盒子是空的，那么另一个口袋中的火柴盒中的火柴根数的分布列是什么？如果从左口袋掏火柴盒的概率是p，从右口袋掏火柴盒的概率为 1-p, 相应的结果又会是什么？

设是一个火柴盒为空，另一个火柴盒中火柴的根数.对于,定义（或）分别为这样的随机事件：当第一次发现一个火柴盒为空火柴盒的时候，这个火柴盒是左或者右口袋里的火柴盒，并且右（或者左）火柴盒里剩下根火柴。的分布列为：

$概率论发展史上的几个经典问题$

进一步地，我们定义选择左口袋为一次成功，选择右口袋为一次失败事件。则是这样的事件：前次事件中成功了次，在 $概率论发展史上的几个经典问题$ 次试验的时候也是成功，这样对于

$概率论发展史上的几个经典问题$

利用对称性，可知对于，得到

$概率论发展史上的几个经典问题$

对问题推广后，即从左口袋取火柴的概率为,右口袋取火柴的概率为,利用相似性推理得到：

$概率论发展史上的几个经典问题$

由此得到

$概率论发展史上的几个经典问题$

2.赌徒破产问题

3.赌本分割问题

泰里思和温迪在玩18个洞的高尔夫球，其奖金为10元钱。他们各自赢得一个洞的概率分别为（泰里思）和（温迪），并且各个洞的输赢是相互独立的。打完10个洞的时候，他们的比分为4:6，温迪占上风。此时泰里思接到一个紧急电话，必须回单位工作。他们决定按照他们打完比赛时候赢得比赛的概率分割奖金。假定代表在目前10个洞的比分4:6的条件下，完成18个洞的比赛后泰里思（温迪）领先的概率，则泰里思应得 $概率论发展史上的几个经典问题$ 元，而温迪应得 $概率论发展史上的几个经典问题$ 元。泰里思应该分得多少钱？

这是著名的点数问题一个例子，也就是赌本分割问题，对此类问题，帕斯卡提出的想法是：赌本分割问题应当按中断的条件下双方各自赢得赌博的条件概率进行分配。我们来推理下。
　　由题意可得：

p_T=P(泰里思在剩余的八个洞中至少打进6个洞)
p_W=P(温迪在剩余的八个洞中至少打进4个洞)

运用一下二项分布的公式可得

　因此可以计算出泰里思应得的钱数。

4.两个信封之谜

你收到两个信封，每个信封内有若干钞票，钞票的数目都是整数（以元为单位），但两个信封内的钱数是不相同的。两个信封内的钱数可以认为是未知的常数。当你随机地打开一个信封以后，这个信封中的钱就是你的了，为了多拿钱。你还可以改变主意，决定拿另一个信封中的钱。一个朋友声称有一个策略，可以使拿到钱数较大的信封的概率超过1/2。其方法如下：你连续地抛掷一枚硬币，直到出现正面出现为止，令x为你抛掷硬币的次数再加上1/2。如果你头一次打开的信封里的钱数少于x，你就换信封，否则不换，你的朋友的方法可行吗？

初刚看到这个问题时，感觉这两件事完全没有关联啊，然后看了推理之后，才觉得真的是太机智了。我们记和分别是信封中较大的钱数和较小的钱数，那么关于总共会有三种事件发生：

是满足对应的事件发生，并且你第一次挑选的信封中包含的事件，同理是包含的事件。
考虑如下事件：

W = {挑选结束时你的信封中包含}

由条件概率得：

$概率论发展史上的几个经典问题$