【通信原理】信道编码——线性分组码

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线性分组码

线性分组码，有两个特点，一个是线性，一个是分组。线性是指校验位和数据位成线性关系，可以通过线性方程直接求得。分组是指校验位由当前码组的数据位唯一确定。比如（n，k）线性分组码，指码长为n，数据位为k的编码方案。汉明码是线性分组码中的一种。

发送方生成码组
接收方破译码组
生成矩阵和校验矩阵

码组形式：k bit数据位+r bit校验位，这样的码被称为系统码。
重点在第三部分生成矩阵和校验矩阵。
我这里说的数据位，也被称为信息位。

（1）发送方生成码组

n=k+r。数据位为k位，冗余的校验位为r位。满足 $\Large 2^r \ge k+r+1$ 。

用k bit数据组成的行向量矩阵m乘以生成矩阵G，即得码组c。 $c_{1\times n} = m_{1\times k}\times G_{k\times n}$

（2）接收方破译码组

将接受到的码组c和校验矩阵H相乘，如果得到0向量，则说明收到的是正确的。

或者，将所有错误情况列举出来查表。

（3）生成矩阵和校验矩阵

一般教科书里面会先讲校验矩阵，再讲生成矩阵，我也准备这样写，但为什么这样写呢？

这要从信道编码出现的原因讲起。信源编码是降冗余，是想要传输速率一定的情况下，发出去更多的符号；信道编码是加冗余，是想要在信道干扰条件一定的情况下，送出去更多的可靠的符号。比如信息位是4位，添加了3位的冗余，那么携带信息的码字有16种，而7比特总共有128种码字。这多出来的的就是112种，就是被禁用的。

而在这128种情况里面，一定有和16种携带信息的向量正交的。我们选出三种线性无关的禁用码字，用来当作校验矩阵。从定义都可以知道，校验矩阵和许用码字的矩阵相乘的结果是一个零向量。那么我们就可以用这个来进行校验。

由线性代数的知识，我们对校验矩阵进行行初等变换，其校验结果是不变的。那么我们就可以把校验矩阵变换成特殊形式，然后就可以轻松降校验矩阵转换为生成矩阵。用生成矩阵生成的码字就可以用校验矩阵进行校验了。

上面的理论显然是非常抽象且枯燥的，现在我举一个例子，（7，4）汉明码。

校验矩阵：它的特点是，从左到右分别是1～7的二进制表示。

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
对上述校验矩阵进行行初等变换，将靠右的部分变为单位阵。

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = [P,I_{r\times r}]$
然后得到生成矩阵，生成系统码形式的汉明码的生成矩阵

$[I_{k\times k};P^T] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$

生成汉明码： $m = [1, 0, 1, 0]; c = m G = [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]$
校验：$s = Hc^T = [0;0;0] $

s被称为伴随式。

变换前后的最小汉明距离不变。

贴一段我用来测试上述过程的代码。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-478994.html

import numpy as np
import itertools as it

G = np.array([[1,0,0,0,0,1,1],
              [0,1,0,0,1,0,1],
              [0,0,1,0,1,1,0],
              [0,0,0,1,1,1,1]])
H = np.array([[0,1,1,1,1,0,0],
              [1,0,1,1,0,1,0],
              [1,1,0,1,0,0,1]])

s = list(it.product(range(2), repeat=4))

M = np.array(s)

C = np.matmul(M,G)%2

D = []

for c in C:
    tmp = []
    for other_c in C:
        if (c!=other_c).any():
            tmp.append(sum((c+other_c)%2))
    D.append(np.min(tmp))
print("最小汉明距离:",np.min(D))