最优二叉搜索树(Optimal Binary Search Tree)_20230401

最优二叉搜索树(Optimal Binary Search Tree)

1. 前言

如果有序数组或有序表中的各个元素查找概率相等，那么采用二叉搜索树(BST)进行折半查找，性能最优。如果有序表中各个记录的查找概率不相等，情况又如何呢？

先看一个具体例子。已知有序表keys， 同时给出各个元素的查询频率，注意到各个元素的查询频率不相同。要求在此条件下，构造出最优搜索二叉查找树。

keys[] = {10, 12, 20}, 

freq[] = {34, 8, 50}

如果各个元素概率相等，在此基础上，构造二叉搜索树，结果为一颗平衡搜索树。

                12         
              /    \             
            10     20  

考虑各个元素的查找概率和二叉树的不同形式，可以构造五颗不同的二叉搜索树，最优二叉搜索树则是带权路径最小的的和:
$$PathWeight=\Sigma （weight[i]\ast height[i])(0<=i<n)$$

    10                12                 20         10              20
      \             /    \              /             \            /
      12          10     20           12               20         10  
        \                            /                 /           \
         20                        10                12             12  
      I               II             III             IV             V

分别对5种形式的二叉搜索树的带权路径和进行计算，采用列表的形式储存计算结果，则得到下述列表形式，

可以得到结论，等概率的二叉搜索树的带权路径和为176，并不是最优二叉搜索树，本例子中的最优二叉搜索树为第V种形式。还可以看出，最优二叉搜索树并不一定是深度最小的树，第V种二叉树的深度为3，第II种的普通的二叉搜索树的深度为2，即第V种树的深度比第II中多1，但是其带权路径和保持最小。另外还有一个结论，从本例中并不能明显看出，根节点权值不一定是最大权值节点。

上述两点声明和表述主要是说明，构造最小最优二叉搜索树不能简单采用贪心算法，贪心算法通常把最大权值放在根结点，并且设法降低树的高度，贪心算法并不能保证得到最优二叉搜索树。

2. 问题求解

按照惯例，依照《算法导论》中的CRCC方法，采用动态规划方法对最优二叉搜索树问题进行求解。首先需要表征最优问题解的基本结构。

• 表征最优问题解的结构(Characterize the structure of the optimal solution)

考察最优二叉搜索树的任意一颗子树，子树包含某个连续元素:
$$k_i....k_j,1\le i\le j\le n$$
根据递归特性，子树本身一定属于最优二叉搜索树，结论可以用反证法进行证明，不再赘述。分析对象为这颗子树，对于这颗子树我们可以分为左右子树，(ki…kr-1) 和 (kr+1…kj), 把这两颗子树作为kr的左右子树，相当于原来的子树的每个节点的深度都增加1，同时考虑根节点kr的权值，那么选择r作为根节点的代价为w(i,j)。r可以在区间【i，j】之间进行变化，但是选择的代价都是w(i,j)。

• 递归定义最优解的值(Recursively define the value of the optimal solution)

递归定义可以描述为，在ki…kj元素范围内，尝试所有的可能情况，寻找最优二叉搜索树，在暂时不考虑重复子问题的前提下，问题呈现出穷尽/穷举的特征。

对于任意根节点r，根节点位于【i，j】，定义f(i,j)为此节点r的带权路径和，采用数学语言可以描述问题，
$$f(i,j)=f(i,r-1)+f(r+1,j)+w(i,j);$$
这就是状态转移方程，状态转移方程的递归过程实际上分支递减多叉树，第一层多叉树的分枝树为j-i+1, 随着递归的深入，多叉树的分枝数不断减少。最优解涉及到在整个区间上求最小值，得到最后的递归形式的最优解为，
f ( i , j ) = m i n { f ( i , r − 1 ) + f ( r + 1 , j ) + w ( i , j ) } ;   i ≤ r ≤ j f(i,j)=min\{f(i,r-1)+f(r+1,j)+w(i,j)\}; \ i≤r≤j f(i,j)=min{f(i,r−1)+f(r+1,j)+w(i,j)}; i≤r≤j

• 求解最优解的值(Compute the value of the optimal solution)

如果采用递归形式，那么求解最优解的值的关键步骤就是定义递归的终止条件，也可以理解为递归的出口。递归出口存在两种形式：

​ - i>j，这种情况表明，遍历完左边的关键字后，仍然没有找到关键字的匹配，此情况下，直接返回0

​ - i==j，这种情况表明，找到了匹配的关键字，直接返回本关键字的频率值即可

再看一个具体的例子，鉴定有四个元素，每个元素出现的频次各不相同，要求构造出最优二叉搜索树，从前面得知，如果有四个元素，那么第一次分支就会出现4叉分支，由于分支比较复杂，我们分几张图加以阐述。

分枝1(Branch 1)，分枝1的二叉搜索树的最小路径和为233，右边为二叉搜索树，橙色框内需要代表频率数组元素的下标。肢体的一提的是，每个分枝实际上由两部分组成，这两部分 分别代表二叉搜索树的左右子孩子。简单理解，每个分枝由两个孩子构成（可能存在节点没有孩子节点的情况）。

分枝2/分枝3，相同思路，分枝2和分枝3的带权路径和分别为251 和192。左右两边的橙色的二叉树分别对应其相应不同的二叉搜索树。

分枝4，分枝4的带权路径和为259，右边的橙色的树代表其带权路径的和。

综上，分枝3为本问题的最优二叉搜索树。

动态规划的特征之二就是，不同分支中会出现重叠子问题(overlapping subproblem)，如果仔细观察分枝1和分枝4，就会发现F(1,2)子问题都包含再两个分枝当中，这是应用递归记忆的基础，如果没有重复子问题，那么递归记就失去其相应意义。

• 构建具体的解

上述递归仅可以求出最优二叉搜索树的最小带权路径和，但是并无法构造相应的最优二叉搜索树，这就需要追加额外的数组root[n+2][n+2]来记录每个【i，j】区间中的根节点的选择root[i][j]=r。

3. 代码实现

3.1 定义头文件

/**
 * @file optimal_binary_search_tree.h
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-03-31
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef OPTIMAL_BINARY_SEARCH_TREE_H
#define OPTIMAL_BINARY_SEARCH_TREE_H
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>

/**
 * @brief Create the optimal binary search tree on the sorted array
 * 
 * @param freq Frequency array list
 * @param i Search start point
 * @param j Search end point
 * @return int -Return weight of optinal_binary search tree weight
 */
int optimal_BST(int *freq,int i, int j);


/**
 * @brief Calculate the sum of frequency list
 * 
 * @param freq Frequency list
 * @param i Search start point
 * @param j Search end point
 * @return int -Return the sume from index=i to index=j
 */
int weight_sum(int *freq, int i, int j);



#endif

3.2 函数的实现

/**
 * @file optimal_binary_search_tree.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-03-31
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */

#ifndef OPTIMAL_BINARY_SEARCH_TREE_C
#define OPTIMAL_BINARY_SEARCH_TREE_C
#include "optimal_binary_search_tree.h"

int optimal_BST(int *freq, int i, int j)
{
    int r;
    int min_value;
    int left;
    int right;
    int c;

    if(i>j)
    {
        return 0;
    }
    if(i==j)
    {
        return freq[i];
    }
    min_value=INT_MAX;
    for (r = i; r <= j; r++) // int freq[] = {34,8,50,25};
    {
        left=optimal_BST(freq,i,r-1);
        right=optimal_BST(freq,r+1,j);
        c=left+right+weight_sum(freq,i,j);
        // int freq[] = {34,8,50,25};
        if(c<min_value) 
        {
            min_value=c;
        }
    }

    return min_value;
}

int weight_sum(int *freq, int i, int j)
{
    int k;
    int sum=0;

    for(k=i;k<=j;k++)
    {
        sum+=freq[k];
    }

    return sum;
}

#endif

3.3 测试函数

/**
 * @file optimal_binary_search_tree_main.c
 * @author your name (you@domain.com)
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2023-03-31
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2023
 * 
 */
#ifndef OPTIMAL_BINARY_SEARCH_TREE_MAIN_C
#define OPTIMAL_BINARY_SEARCH_TREE_MAIN_C
#include "optimal_binary_search_tree.c"

int main(void)
{
    int freq[] = {34,8,50,25};
    int n=sizeof(freq)/sizeof(int);

    int min_value;

    min_value=optimal_BST(freq,0,n-1);

    printf("The miminum value is %d\n",min_value);

    getchar();

    return EXIT_SUCCESS;
}

#endif

4. 小结

构建二叉搜索树的过程，采用和矩阵链相乘相同的思路，通过直接求解子问题[i,j]，从而最终求解全局问题。这个过程中需要特别注意，由于解的结果仅为矩阵中的上三角或下三角，所以需要引入长度的概念，对i和j进行不同的限制，最终达到求解的目的。

参考资料：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-522828.html

1. 《Introduction to algorithm, 4ed》
2. Optimal Binary Search Tree | DP-24 - GeeksforGeeks

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