目录
一. 三维插值
例题1
二. 高维度插值拟合
格式一
格式二
格式三
格式四
格式五
例题2
三. 单变量三次样条插值
例题3
例题4
四. 多变量三次样条插值
例题6
一. 三维插值
首先三维网格生成是利用meshgrid()函数，在MATLAB中调用格式如下：
[x,y,z]=meshgrid(x1,y1,z1)
% x1,y1,z1为这三维数据所需要的分割形式，均以向量形式给出
%返回的x,y,z为网格的数据生成，也是三维数组三维插值运算，主要利用griddata()函数与interp()函数，如下：
griddata3() %三维非网格形式的插值拟合
griddatan() %n维非网格形式的插值拟合
interpn() %N维网格数据的插值拟合实际上，interp3()和interpn()调用格式与interp2()函数一致；
griddata3()和griddatan()调用格式与griddata()函数一致。
有关interp2()与griddata()函数可见之前的博客：
基于MATLAB的二维与三维插值拟合运算（附完整代码）_唠嗑！的博客-CSDN博客
基于MATLAB的数据插值运算：Lagrange与Hermite算法（附完整代码）_唠嗑！的博客-CSDN博客
例题1
通过函数V(x,y,z)来生成一些网格型样本点，试根据样本点进行拟合，并给出拟合误差。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
[x,y,z]=meshgrid(-1:0.2:1);
[x0,y0,z0]=meshgrid(-1:0.05:1);
V=exp(x.^2.*z+y.^2.*x+z.^2.*y).*cos(x.^2.*y.*z+z.^2.*y.*x);
V0=exp(x0.^2.*z0+y0.^2.*x0+z0.^2.*y0).*cos(x0.^2.*y0.*z0+z0.^2.*y0.*x0);
V1=interp3(x,y,z,V,x0,y0,z0,'spline');
err=V1-V0;
max(err(:))运行结果：
ans =0.041862381154469
二. 高维度插值拟合
interpn()函数可实现一维、二维、三维和N维网格数据的插值。常用的有五种格式：
格式一
Vq=interpn(X1,X2,...,Xn,V,Xq1,Xq2,...,Xqn)
格式二
Vq=interpn(V,Xq1,Xq2,...,Xqn)
格式三
Vq=interpn(V)
样本值之间间隔分割一次
格式四
Vq=interpn(V,k)
将每个维度上样本值之间的间隔反复分割k次，形成优化网格，并在这些网格上返回插入值。这将在样本值之间生成个插入点
格式五
Vq=interpn(_,method,extrapval)
可以指定备选插值方法，包含：'linear','nearest','pchip','cubic','makima'或者'spline'。默认方法为'linear'。
例题2
自行选取数据，利用interpn()函数进行一维插值，二维插值与三维差值。
解：
（1）一维插值
MATLAB代码如下：
clc;clear;
x=[1 2 3 4 5];
v=[12 16 31 10 6];
xq=(1:0.1:5);
vq=interpn(x,v,xq,'cubic');
plot(x,v,'o',xq,vq,'-');
legend('Samples','Cubic Interpolation');运行结果：
（2）二维插值
MATLAB代码如下：
clc;clear;
[X1,X2]=ndgrid(-5:1:5);
R=sqrt(X1.^2+X2.^2)+eps;
V=sin(R)./(R);
Vq=interpn(V,'cubic');
mesh(Vq);
size(V);
size(Vq);运行结果：
（3）三维插值
此例子将给定函数
MATLAB代码如下：
clc;clear;
[x,y]=ndgrid(-3:.6:3,-2:.4:2);
z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
[x1,y1]=ndgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);
z1=interpn(x,y,z,x1,y1);
surf(x1,y1,z1),axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5])
运行结果：
三. 单变量三次样条插值
给定样本点，平面上n个点，且满足。
S(x)为三次样条函数需要满足如下三个条件：
- ，即函数经过样本点
- S(x)在每个子区间
上为三次多项式，即
- S(x)在整个区间上有连续的一阶以及二阶导数
在MATLAB中，定义一个三次样条函数类，如下：
S=csapi(x,y)上式子中为样本点。S返回样条函数对象的插值结果，其中就包含子区间点，各区间点三次多项式系数等等。
可以利用fnplt()绘制出插值结果，调用格式如下：
fnplt(S)对给定的向量xp,可用fnval()函数进行计算，调用格式如下：
yp=fnval(S,xp)由此式子得出的yp是xp上各点的插值结果。
例题3
以sin(x)产生的数据点为例子，进行三次样条插值运算。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
x0=[0,0.4,1,2,pi];
y0=sin(x0);
sp=csapi(x0,y0),fnplt(sp,':');
hold on,ezplot('sin(t)',[0,pi]);
plot(x0,y0,'o')
sp.coefs运行结果：
sp =
包含以下字段的 struct:
form: 'pp'
breaks: [0 0.400000000000000 1 2 3.141592653589793]
coefs: [4×4 double]
pieces: 4
order: 4
dim: 1
ans =
-0.162650313526554 0.007585653997624 0.996535644336825 0
-0.162650313526551 -0.187594722234240 0.924532017042179 0.389418342308651
0.024435716847400 -0.480365286582031 0.523756011752416 0.841470984807897
0.024435716847400 -0.407058136039832 -0.363667410869446 0.909297426825682
根据运算的结果，在(0.4000,1)区间内，插值多项式可以表示为如下：
例题4
自行选取函数f(x)的一些数据点，用三次样条插值的方法对这些数据进行拟合。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
x=0:.12:1;
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);
sp=csapi(x,y);
fnplt(sp)
c=[sp.breaks(1:4)' sp.breaks(2:5)' sp.coefs(1:4,:),sp.breaks(5:8)'...
sp.breaks(6:9)' sp.coefs(5:8,:)]运行结果：
c =
列 1 至 7
0 0.120000000000000 24.739556929256214 -19.358812904771273 4.515070686988533 0 0.480000000000000
0.120000000000000 0.240000000000000 24.739556929256135 -10.452572410239041 0.937704449187296 0.305791530983672 0.600000000000000
0.240000000000000 0.360000000000000 4.507107987633279 -1.546331915706831 -0.502164069926209 0.310548976552460 0.720000000000000
0.360000000000000 0.480000000000000 1.913943736028591 0.076226959841147 -0.678576664630090 0.235810391177767 0.840000000000000
列 8 至 12
0.600000000000000 -0.240386219157313 0.765246704811441 -0.577599824871780 0.158786154419726
0.720000000000000 -0.477388221775507 0.678707665914812 -0.404325300384630 0.100078340597694
0.840000000000000 -0.455907214289051 0.506847906075627 -0.262058631745777 0.060507768093483
0.960000000000000 -0.455907214289066 0.342721308931568 -0.160110325944914 0.035571534465187
四. 多变量三次样条插值
处理多个自变量的网格数据三次样条插值的格式如下：
S=csapi({x1,x2,...,xn},z)
%xi为自变量的网格标志
%z是网格数据的样本点
%得到的S是三次样条函数对象例题5
用三次样条插值方法得出z函数网格数据的样条插值拟合，并绘制出曲面
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
x0=-3:.6:3;
y0=-2:.4:2;
[x,y]=ndgrid(x0,y0);
%注意此处只能使用ndgrid，否则生成的z矩阵的顺序有问题
z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
sp=csapi({x0,y0},z);
fnplt(sp);
运行结果：
在MATLAB中，函数spline也可以进行三次样条数据插值，格式如下：
yy=spline(x,y,xx)例题6
对离散分布在y函数曲线上的数据点进行样条插值计算。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
x=[0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20];
y=exp(x).*sin(x);
xx=0:.25:20;
yy=spline(x,y,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)
运行结果：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-619467.html
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