动手学DL——MLP多层感知机【深度学习】【PyTorch】

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4、多层感知机（ MLP）

4.1、多层感知机

加入一个或多个隐藏层+激活函数来克服线性模型的限制，使其能处理更普遍的函数关系类型，这种架构通常称为多层感知机（multilayer perceptron）。

输入层不涉及任何计算，因此使用此网络产生输出只需要实现隐藏层和输出层的计算。

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4.1.1、隐层

通用近似定理

多层感知机可以通过隐藏神经元，捕捉到输入之间复杂的相互作用，这些神经元依赖于每个输入的值。多层感知机是通用近似器，即使是网络只有一个隐藏层，给定足够的神经元和正确的权重，可以对任意函数建模。

通过使用更深（而不是更广）的网络，可以更容易地逼近许多函数。

4.1.2、激活函数 σ

激活函数（activation function）通过计算加权和并加上偏置来确定神经元是否应该被激活，换句话说，激活函数的目的是引入非线性变化。

常见激活函数

总结，ReLU 是绝大多数情况的选择。原因是它计算简单，不用跑指数运算【说的就是sigmoid的求幂运算慢】，CPU跑指数运算是很费时间的，GPU会好一些。

1）ReLU

$R e LU (x) = ma x (x, 0)$

使用 ReLU 的原因是，它求导表现得特别好：要么让参数消失，要么让参数通过。这使得优化表现得更好，并且ReLU减轻了困扰以往神经网络的梯度消失问题。

要么让参数消失，要么让参数通过如何促成优化表现更好？

让参数消失： 当输入到 ReLU 激活函数的值小于零时，ReLU 函数的导数为零。这意味着负数区域的梯度为零，反向传播过程中梯度不会回传。这种情况下，参数更新会减小，参数“消失”。这是一种“剪枝”的现象，可以减少神经网络的复杂性，防止过拟合。

让参数通过： 当输入到 ReLU 激活函数的值大于等于零时，ReLU 函数的导数为1。这意味着正数区域的梯度为1，可以使梯度有效地传递到下一层。这有助于保持梯度的信息传递，避免梯度消失的问题。

由于 ReLU 在正数区域的导数是恒定的（为1），因此在反向传播时可以保持较大的梯度传递，有助于训练深度神经网络。这种性质使得参数的更新在网络的深层中更容易保持梯度的大小，从而提高训练效率和模型的收敛速度。

2）Sigmoid

$\frac{1}{1+e^{-x}}$

它将范围（-inf, inf）中的任意输入压缩到区间（0, 1）中的某个值。

3）tanh

$\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$

将其输入压缩转换到区间(-1, 1)上。

为什么要引入非线性变换？

非线性变换比线性变换有更强的表达能力。可逼近任意复杂函数，更加贴合真实世界问题，现实世界中单调、线性是极少存在的。

例如，如果我们试图预测一个人是否会偿还贷款。我们可以认为，在其他条件不变的情况下，收入较高的申请人比收入较低的申请人更有可能偿还贷款。但是，虽然收入与还款概率存在单调性，但它们不是线性相关的。收入从0增加到5万，可能比从100万增加到105万带来更大的还款可能性。处理这一问题的一种方法是对我们的数据进行预处理，使线性变得更合理，如使用收入的对数作为我们的特征。(该例来自 DIVE INTO DEEP LEARNING)

softmax 函数与隐层激活函数的区别？

softmax 函数主要用于输出层，而不是隐藏层。隐藏层的激活函数通常是为了引入非线性，而 softmax 函数则是为了将得分映射为概率，用于多分类问题的输出。

什么是层数塌陷？

梯度消失。

4.2、从零实现多层感知机

（损失函数、优化算法来自 torch）

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
#生成了一个服从标准正态分布（均值为0，方差为1）的随机张量 大小(num_inputs, num_hiddens)，作为 w 初始值。
W1 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_inputs, num_hiddens, requires_grad=True) * 0.01)
b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens, requires_grad=True))
# 大小为(num_hiddens,)的零张量 ，作为 b 的初始值 
W2 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_hiddens, num_outputs, requires_grad=True) * 0.01)
b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True))

params = [W1, b1, W2, b2]

权重为什么要乘 0.01？

乘以0.01的目的是将初始权重缩放到一个较小的范围，以便更好地初始化网络。

激活函数

def relu(X):
    # 创建了一个与输入张量X具有相同形状的全零张量a
    a = torch.zeros_like(X)
    return torch.max(X, a)

定义模型

def net(X):
    # -1 表示该维度将根据张量的大小自动计算， 如：784， reshape(-1,28) 会得到28*28
    X = X.reshape((-1, num_inputs))
    H = relu(X@W1 + b1)  # 这里“@”代表矩阵乘法
    return (H@W2 + b2)

损失函数

# reduction='none'：表示不进行降维，张量的形状通常与输入的标签张量的形状相同。
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

训练 & 优化算法

num_epochs, lr = 10, 0.1
updater = torch.optim.SGD(params, lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater)

评估

d2l.predict_ch3(net, test_iter)

4.3、简单实现多层感知机

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
                    nn.Linear(784, 256),
                    nn.ReLU(),
                    nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

4.4、模型选择、欠拟合、过拟合

模型选择

DL 的核心是，设计一个大的模型，控制它的容量，尽可能地降低泛化误差。

泛化误差(test_loss)：模型在新数据上的误差。

训练误差（train_loss）：模型在训练数据上的误差，反映了模型在训练数据上的拟合程度。

模型训练过程中用到的损失是 train_loss 。

测试集：只用一次的数据集【如竞赛提交后才进行测试的无法用于调超参数的不可知数据】。

验证集：用来评估模型好坏的数据集，根据结果调整超参数。

小数据集上做验证，通常使用K-则交叉验证，常用k=5或10。
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2,random_state=42)这种分割之后，哪里涉及到验证损失？绘制出来的 test_loss 算测试损失还是验证损失？

沐神提到过，数据集分割中的X_test,y_text 是当作测试集实际上是验证集（val），不代表模型在新数据上真实泛化能力。
对上方红字，我的理解：数据集分割的test，在使用时确实是当测试集对待的，对代码来说他就是测试集，但是在代码之外，往往会根据这个结果人为地去调整下学习率、隐层节点之类的超参数，那么就更加贴合验证集的定义，是实际中的验证集。
所以翻阅书籍看到 test 就应该啊理解为测试集，不要钻牛角尖说事实上我压根就没有测试集，到我手上了的都成为验证集了，因为我后续会调参，薛定谔的猫。所以书籍教程上谈 test为测试集，没有任何问题（一直纠结很久，所以记录一下）。

超参数：训练前预定义好的，训练中不会变，（lr、epoch、batchsize、正则化参数、隐层节点数）。

参数：权重w、偏移量b之类的。

过拟合&欠拟合

低容量配简单数据时，高容量模型配复杂数据时，拟合正常。
高容量模型数据少，容易过拟合；低容量模型数据复杂，易欠拟合。
模型容量

拟合各种函数的能力，高容量的模型可以记住所有训练数据。

如何估计模型容量？
- 参数个数
- 参数值的选择范围
  
  VC维（Wapnik-Chervonenkis dimension）是统计学提供的量化模型容量的方法，提供一个为什么一个模型好的理论依据。在DL中使用VC维很困难。
（图片来自《DIVE INTO DEEP LEARNING》）

数据复杂度

样本数、没样本元素数、时空结构、多样性。
更多的，模型容量和数据复杂度是直观感受，不断积累调参得来的感受。

4.5、权重衰退

权重衰减是最广泛使用的正则化的技术之一，它通常也被称为 $L_2正则化$ 。

正则化是处理过拟合常用方法，在训练集损失函数中加入惩罚项，以降低模型复杂度。保持模型简单的一个特别的选择是使用 $L_2惩罚$ 的权重衰减。

常见的正则化方法：

L1 正则化（L1 Regularization）：在损失函数中添加参数的绝对值之和，即 L1 范数。这将导致一些参数变为零，从而实现特征选择的效果，使得模型更稀疏。

L2 正则化（L2 Regularization）：在损失函数中添加参数的平方和的一半，即 L2 范数。这会使模型的参数更加平滑，防止参数过大，从而减轻过拟合。

Elastic Net 正则化：结合了 L1 和 L2 正则化，同时对参数施加 L1 和 L2 惩罚项。

Dropout 正则化：在训练过程中，随机地将一些神经元的输出设置为零，以降低神经网络的复杂性。

数据增强（Data Augmentation）：通过对训练数据进行一系列随机变换（如翻转、旋转、缩放等），增加数据样本，从而提高模型的泛化能力。

参数更新法则

计算梯度

$\frac{∂}{∂w}(L(w,b) + \frac{λ}{2}||w||^2) = \frac{∂L(w,b)}{∂w} + \lambda w$

更新参数（时间t）

$η\frac{∂L(w,b)}{∂w}$

通常 $η\lambda < 1$ ，深度学习中这个就叫做权重衰减。

4.6、丢失法|暂退法（Dropout）

Dropout 是一种常用的正则化技术，正则技术就是用于防止神经网络过拟合。

丢弃法将一些输出项随机置0来控制模型复杂度，常作用在多层感知机的隐藏层输出上，丢弃概率是控制模型复杂度的超参数。

常用 dropout rate = 0.5 or 0.9 or 0.1

无偏差的加入噪音

对 $x$ 加入噪音得到 $x^{'}$ ，我们希望

$E [x^{'}] = x$

丢弃法对每个元素进行如下扰动

$x_i' = \begin{cases} 0& \text{with probability p} \\ \frac{x_i}{1-p} &\text{otherise} \end{cases}$

怎么能看出"加噪音"这个动作，这不是"丢弃"动作吗？

理论上 dropout 是在做一个隐层之间加噪音的操作，实际上是通过上述 $x$ 转 $x^{'}$ 实现的。

丢弃法的实际使用

通常将丢弃法作用于隐层的输出上。

[hidden layers]

↓

[dropout layer]

↓

[output layer]

$h = σ(W_1x + b_1)$

$h^{'} = d ro p o u t (h)$

$o = W_2h' + b_2$

$y = so f t ma x (o)$

（图片来自《DIVE INTO DEEP LEARNING》）

4.6.1、dropout 函数实现

import torch 
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def dropout_layer(X,dropout):
    #dropout只有在合理范围内，断言允许继续执行
    assert 0 <= dropout <=  1
    # dropout =1 分母无意义
    if dropout ==1:
        return torch.zeros_like(X)
    if dropout == 0:
        return X
    mask = (torch.rand(X.shape) > dropout ).float()
    return mask * X / (1.0 - dropout)

4.6.2、简洁实现

在每个全连接层之后添加一个Dropout层

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
        nn.Linear(784, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第一个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout1),
        nn.Linear(256, 256),
        nn.ReLU(),
        # 在第二个全连接层之后添加一个dropout层
        nn.Dropout(dropout2),
        nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

训练和测试

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

4.7、数值稳定性

参数初始化重要性：影响梯度和参数本身的稳定性

梯度计算的是矩阵与梯度向量的乘积，最初矩阵可能具有各种各样的特征值，他们的乘积可能非常大也可能非常小。

不稳定梯度带来的风险不止在于数值表示；不稳定梯度也威胁到我们优化算法的稳定性。梯度爆炸，参数更新过大，破坏模型稳定收敛；梯度消失，参数更新过小，模型无法学习。

当网络有很多层时，sigmoid函数的输入很大或是很小时，它的梯度都会消失，激活函数会选择更稳定的ReLU系列函数。

参数对称性

神经网络设计中的另一个问题是其参数化所固有的对称性。假设我们有一个简单的多层感知机，它有一个隐藏层和两个隐藏单元。在这种情况下，我们可以对第一层的权重 $W^{(1)}$ 进行重排列，并且同样对输出层的权重进行重排列，可以获得相同的函数。第一个隐藏单元与第二个隐藏单元没有什么特别的区别。换句话说，我们在每一层的隐藏单元之间具有排列对称性。