【线性规划】基于python的最短路径线性规划

前言

1. 案例介绍

2. 整数规划模型构建

2.1. 梳理模型思路

2.2. 构建自变量

2.3. 构建目标函数

2.4. 构建约束条件

3. 基于Python+Pulp求解实现

3.1. 构建有向图处理类

3.2. 建立整数规划模型

3.3. 带入案例中的有向图数据

3.4. 查看最优路径

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前言

最短路问题（shortest path problem, SSP）是图论的经典问题之一，基本内容是：在一个由边和点组成的有向图(or无向图)中，基于每一条边的属性（比如长度、成本、时间等），寻找两点之间总权最小的路径问题。

最短路问题的求解方法有很多，比如Dijkstra算法、Ford算法等，本文主要介绍整数规划解法。

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1. 案例介绍

图1是一个由边和点组成的有向图，其中每一条边都有相应的权重，求从起点A到终点G的最短路径

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2. 整数规划模型构建

2.1. 梳理模型思路

如图1所示，从A到G的任意一条路径如下，左图是有向图中该路径涉及的点与线，右图是剩余的点与线，先定义两个概念：

• 点入集：进入该点的线的集合
• 点出集：离开该点的线的集合

可发现以下几点：

• 选择某条路径时，起点的点出集中被选择的线数量-点入集的 = 1
• 选择某条路径时，终点的点出集中被选择的线数量-点入集的 = -1
• 选择某条路径时，其余点的点出集中被选择的线数量-点入集的 = 0
• 未选择的点，其余点的点出集中被选择的线数量-点入集的 = 0

因此，可以根据以上四点特点，建立线性优化模型和约束函数

该路径涉及的点与线	某路径未涉及的点与线

2.2. 构建自变量

设二元变量，表示点到点的线条是否被最优路径选中 

2.3. 构建目标函数

基于路径中所有线条的加权和最小构建整数规划的目标函数

式中，表示线条权重，表示所有线条的集合

2.4. 构建约束条件

设点的点出集为，点的点入集为，且；为所有点整理出，针对各个点建立约束条件：

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3. 基于Python+Pulp求解实现

3.1. 构建有向图处理类

class CaseData:

    def __init__(self, edgeMap):
        # key-边编号，value-边权重
        self.edgeMap = edgeMap
        # 边编号集合
        self.edges = list(self.edgeMap.keys())
        # 点编号集合
        self.plots = self._getPlots() 
        # 起点与终点（也可随意选一点）
        self.startPlot = self._getStartSpot()
        self.endPlot = self._getEndSpot()
        # key-plot，value-{"out": 边的列表，"in": 边的列表}
        self.plotMap = self._getPlotMap()

    def _getPlotMap(self):
        plotMap = {}

        for plot in self.plots:
            if plot not in plotMap.keys():
                plotMap[plot] = {"out": [], "in": []}
            for edge in self.edges:
                if plot == edge[0]:
                    plotMap[plot]["out"].append(edge)
                elif plot == edge[-1]:
                    plotMap[plot]["in"].append(edge)
        return plotMap

    def _getPlots(self):
        plots = set()
        for edge in self.edges:
            for plot in list(edge):
                plots.add(plot)
        return list(plots)

    def _getStartSpot(self):
        startPlots = copy.copy(self.plots)
        for edge in self.edges:
            if edge[-1] in startPlots:
                startPlots.remove(edge[-1])
        return startPlots[0]

    def _getEndSpot(self):
        startPlots = copy.copy(self.plots)
        for edge in self.edges:
            if edge[0] in startPlots:
                startPlots.remove(edge[0])
        return startPlots[0]

3.2. 建立整数规划模型

class SppProgram:

    def __init__(self, problemType=None):
        self.setProblemType = "min" if problemType is None else problemType
        self.lpStatus = None
        self.varValuesMap = {}
        self.objectValue = None

    def setSppModel(self, caseData):
        # 1. 建立问题
        prob = LpProblem("最短路问题", LpMinimize) if self.setProblemType == "min" else LpProblem("最短路问题", LpMaximize)

        # 2. 建立变量（以列表形式建立多个变量，变量名为边名）
        edges = caseData.edges
        vars = LpVariable.dicts("x", edges, cat="Binary")

        # 3. 目标函数
        prob += lpSum(caseData.edgeMap[_] * vars[_] for _ in caseData.edges), "路径总权重"

        # 4. 约束条件
        for plot in caseData.plots:
            if plot == caseData.startPlot:
                prob += lpSum(vars[_] for _ in caseData.plotMap[plot]["out"]) - \
                         lpSum(vars[_] for _ in caseData.plotMap[plot]["in"]) == 1, "起点"
            elif plot == caseData.endPlot:
                prob += lpSum(vars[_] for _ in caseData.plotMap[plot]["out"]) -\
                         lpSum(vars[_] for _ in caseData.plotMap[plot]["in"]) == -1, "终点"
            else:
                prob += lpSum(vars[_] for _ in caseData.plotMap[plot]["out"]) -\
                         lpSum(vars[_] for _ in caseData.plotMap[plot]["in"]) == 0

        # 5. 求解
        prob.solve()

        # 6. 保存求解状态
        self.lpStatus = LpStatus[prob.status]

        # 7. 保存每个变量的最优值
        for varName in prob.variables():
            self.varValuesMap[varName] = varName.varValue

        # 8. 保存最优解的目标函数值
        self.objectValue = value(prob.objective)

3.3. 带入案例中的有向图数据

if __name__ == "__main__":
    edgeMap = {"AB": 10, "AC": 21, "AD": 12,
               "BD": 21, "BE": 32,
               "CF": 15,
               "DC": 8, "DG": 50,
               "EG": 17,
               "FG": 11}
    caseData = CaseData(edgeMap=edgeMap)

    lpModel = SppProgram("min")
    lpModel.setSppModel(caseData=caseData)

    # 输出最优解路径集
    varValuesMap = lpModel.varValuesMap    
    print([_ for _ in varValuesMap.keys() if varValuesMap[_] == 1])

3.4. 查看最优路径

即最优路径为：AD→DC→CF→FG

注意：当存在多个最优解时，Pulp无法返回所有最优解，只会选择其中之一为最优解

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