【数学建模笔记】【第四讲（1）】拟合算法之最小二乘算法及其MATLAB实现

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与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所
有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）

【插值和拟合的区别】
插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。
尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。(拟合的结果是得到一个确定的曲线，而插值可以得到很多曲线，只不过是预测精度不大一样)
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【结合MATLAB演示最小二乘法拟合】

给定一些数据点：

x	y
4.2	8.4
5.9	11.7
2.7	4.2
3.8	6.1
3.8	7.9
5.6	10.2
6.9	13.2
3.5	6.6
3.6	6
2.9	4.6
4.2	8.4
6.1	12
5.5	10.3
6.6	13.3
2.9	4.6
3.3	6.7
5.9	10.8
6	11.5
5.6	9.9

设这些样本点为 $x_i,y_i),i=1,2,3,……,n$
我们设置的拟合曲线为 $y = k x + b$ .
问题在于，当 $k$ 和 $b$ 取何值时，使得样本点和拟合曲线更接近？

我们使用MATLAB先将这些点画在图中：
在MATLAb的变量存储区新建x和y变量，然后把我们的数据复制进去：
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新建好这两个变量之后，可以把两个变量选中，然后保存在和代码同一个目录的文件夹下，保存为mat文件：

这样我们如果删除了这两个变量，仍然可以通过load demo 来加重新加载这两个变量。
通过plot命令可以绘制出这个散点图：
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那么如何确定拟合曲线呢？这里我们使用最小二乘法。

1.最小二乘法的几何解释：

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第一种定义有绝对值，不容易求导，因此计算比较复杂。
所以我们往往使用第二种定义，这也正是最小二乘的思想。

2.为什么不用四次方？

避免极端数据对拟合曲线的影响。
最小二乘法得到的结果和MLE极大似然估计一致。
不用奇数次方的原因：误差会正负相抵。

求解最小二乘法：
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详细证明可以看我写的超级好的手写版【doge】😎

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3.MATLAB求解最小二乘：

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对应的求 $\hat{k}$ 和 $\hat{b}$ 的MATLAb
代码是：

k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))

求出 $\hat{k}$ 和 $\hat{b}$ 之后就可以画出这个拟合函数 $y=\hat{k}x+\hat{b}$ 了：

% % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
% % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% xx = 2.5: 0.1 :7  % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% yy = k * xx + b  % k和b都是已知值
% plot(xx,yy,'-')

画图还有一个方法：用匿名函数

% 匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
%  z=@(x,y) x^2+y^2; 
%  z(1,2) 
% % ans =  5
% fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。
% fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval =  [xmin xmax] 表示定义域的范围

在此处就可以这样写来画出这个函数：

f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[2.5,7]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

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那么有了拟合函数我们如何判断拟合的好不好呢？

4. 如何评价拟合的好坏（拟合优度）

拟合优度（可决系数） $R^2$

总体平方和 $SST$ ： $\text{Total sum of squares}:SST=\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y_i})^2$
误差平方和 $SSE$ ： $\text{The sum of squares due to error}:SSE=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2$
回归平方和 $SSR$ ： $\text{Sum of squares of the regression:}:SSR=\sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y_i})^2$

可以证明： $SST = SSR + SSE$ （要用到我们求导得到的两个等式）

拟合优度：
$0<=R^2= \frac{SSR}{SST}= \frac{SST-SSE}{SST}=1- \frac{SSE}{SST}<=1$

$R^2$ 越接近1，说明误差平方和越接近0，误差越小说明拟合的越好。

注：

$R^2$ 只能用于拟合函数是线性函数时拟合结果的评价，因为 $SST = SSR + SSE$ 这个等式只有在拟合函数是线性的时候才成立，其证明如下图
线性函数和其他函数（例如复杂的指数函数）比较拟合的好坏，直接看 $SSE$ 即可。
拟合的函数越复杂（比如说次数越高），最后得出的拟合优度肯定是越小，SSE也越小（因为次数越高，到最后可能拟合函数穿过了所有的数据点，SSE就为0了），但是这与拟合的初衷相矛盾了，我们希望用一个简单的函数去打到一个相对很好的拟合效果。所以不要过度追求高阶次，复杂的拟合函数，而是要在简单拟合函数与 $R^2$ 越小之间找到一个平衡点。

证明SST=SSE+SSR:
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5.线性函数的定义与介绍

上面谈到了 $R^2$ 只能用于拟合函数是线性函数时拟合结果的评价，那么什么是线性函数呢？只有一次函数是线性函数吗？其实不是的。

思考： $y=a+bx^2$ 是线性函数吗？
是的。因为我们这里说的线性函数是指对参数为线性（线性于参数）。

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如何判断线性于参数的函数？
在函数中，参数仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并不能出现参数的复合函数形式。
比如下面的三种函数都是线性于参数的函数：
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而 $y=\frac{a}{(x-b)^2},y=asin(b+cx)$ 等都不是线性于参数的函数，不能使用 $R^2$ 。

6.用MATLAB计算拟合优度

$SST=\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y_i})^2$
$SSE=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2$
$SSR=\sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y_i})^2$

y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  % 回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
SST-SSE-SSR   % 5.6843e-14  =   5.6843*10^-14   matlab浮点数计算的一个误差
R_2 = SSR / SST