在学习二次型的时候没有好好理解概念，导致记住了可以用的结论，但往往遇到题目反应不过来，故这次对二次型进行一个详细剖析。
首先二次型是什么？是一个n元变量的二次齐次多项式，根据二次齐次多项式的定义（所有单项的次数都是2，单项的次数为其所有变数字母指数之和），这也注定了二次型每一个单项不是单个字母的平方，就是两个一次指数字母的乘积。所以别看二次型中变量是x1,x2其实可以变化成x,y,z这样的话可不能辨别不出来。比如f(x,y,z) = xy+yz+zx，这个也是一个二次型，这可不能辨别不出来哦！（所有的二次型都是在实对称矩阵上的。）
但是我们为了方便研究二次型，所以我们规定二次型的矩阵（二次型 = ）必须是实对称矩阵，为了更进一步方便研究，就得想办法将其中的两个一次指数的变量删除掉，只留下二次的单个字母，所以就有了我们常说的标准型和规范型。那么通过怎么样的方式来变换成这样的这两种形态呢？可逆线性变换！
任何普通二次型都可以通过配方法（即可逆线性变化的一种方式）化成标准型和规范型。
任何普通二次型都可以通过正交变换化成标准型。
需要注意上述两句话的区别，配方法本质就是可逆线性变化的外在表现形式，而正交变换是将转置和可逆联系起来，以至于将可逆线性变化等同于相似对角化，但是相似对角化不管怎么变化，其特征值都是不变化的，故得出的对角矩阵这个实对称矩阵中间元素不一定是正负1，故得此结论。
在通过这两种基本方法可逆线性变化的过程中，有一个惯性定律，即任何普通的二次型不管经过怎么样不同的可逆线性变化，化成最后怎么不同的标准型和规范型，其最后标准型和规范型中的正项的个数，即正惯性指数，负项个数，即负惯性指数都是不变的。（值得一提的是，如果通过正交矩阵进行可逆线性变化，如果不通过配方法进一步可逆线性变化的话，其最后得出的对角矩阵中特征值是唯一的，即特征值不变，即正负惯性指数不变，矩阵会改变，因为特征值改变位置，矩阵就变化了。而如果是配方法得出的对角矩阵是不唯一的，取决于其可逆矩阵C，而且得出的对角矩阵中间元素往往不是初始二次型矩阵A的特征值，因为C碰巧是正交矩阵的概率太小了，但但是正负惯性指数是唯一的。）
有了上述的两句结论，就有了对于任何实对称矩阵而言，必然存在一个可逆矩阵C使得经过可逆线性变化变成对角矩阵。所以就有了我们在相似里面学到的，实对称矩阵比可相似对角化，因为可逆矩阵C里面存在正交矩阵使得相似对角化。
那上述两种方式的本质是什么呢？——找到时可逆矩阵C。
正交变化法的本质就是沟通了转置和可逆，使得可逆线性变化 = 相似对角化，由于相似对角化能够很轻松的找到可逆正交C（即为A的特征向量组），所以便可将其当做可逆线性变化的C。
使用史密斯正交化的条件？——只要矩阵A的特征向量全部线性无关就好了。
什么是合同？合同是二次型可逆现象变化的副产品，可以用合同表示二次型可逆线性变化的核心，方便研究。合同其实其实就是二次型的可逆线性变化，可逆线性变化会有正负惯性指数相同，那么合同的充要条件也是正负惯性指数不变，如果变化就不是可逆线性变化，那么合同也会不成立的，可以理解为合同为可逆线性变化的代言人。合同的充要条件还有定义法和传递性。
那么接下来就可以讨论一个特殊的二次型，正定二次型。
其定义为：对于任意不为零的n元变量组成的列向量，都有二次型>0，那么这个就是正定二次型，即二次型f(x1,x2.。。)>0的
充要条件：A的特征值都大于0，正惯性指数 = n，A与E合同（即最后可逆线性变化化成规范型之后中间全为1），A的全部顺序主子式都大于0（行列式），存在可逆D，有（这个根据A和E合同变化过来的，其中的D为C的逆）
必要条件：A矩阵中间的aii都是大于0的，同时A的行列式大于0（A的行列式为特征值的乘积，由于特征值全是正的，那么行列式自然是正的，但是反过来不可以，因为偶数个负数特征值行列式也大于0，所以这个是必要条件，而非充要）。
重要结论：
总的来说二次型问题就是一个怎么标准化和规范化的问题，不要感到害怕！
史密斯正交化
先标后规——标准型中间可以不是正负一，但是规范性的后面全是政正负一。
关于线性变换和基变换的区别：线性变换用的多，是大佬，所以C在前面 X = CY，表示X到Y的线性变化，其实质是元素；基变换用的少，是小弟，所以C在后面 有 Z = MC，表示M到Z的基变换。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-709342.html
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