拓扑排序详解（包含算法原理图解、算法实现过程详解、算法例题变式全面讲解等）

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了拓扑排序详解（包含算法原理图解、算法实现过程详解、算法例题变式全面讲解等）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前置知识

有向无环图

在图论中，如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图（DAG图）。
如图所示。
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入度

对于一个有向图，若x点指向y点，则称x点为y点的入度。

出度

对于一个有向图，若x点指向y点，则称y点为x点的出度。

队列

队列是一种特殊的线性表，特殊之处在于它只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在表的后端（rear）进行插入操作，和栈一样，队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为队尾，进行删除操作的端称为队头。

我们可以用双指针标记一下，通过front指针与rear指针，对队头和队尾进行标记，然后只允许在front、rear指针的位置进行增删改查，那么这样便实现了对数组的受限。这是一种运用数组的数据结构对队列的模拟。初学者建议先用这种方式熟悉队列。

具体操作：

/*
    通常将front赋值为0，rear赋值为-1
    方便后续进队、出队以及取队首元素
 */
int a[100], front=0, rear=-1;

// 进队
a[++rear] = 10;

// 出队
front++

// 取队首元素
a[front]

// 取队尾元素
a[rear]

// 判断是否为空队
if(front > rear)
    cout << "该队列为空队";

不过，到了后期，为了节省时间，我们可以直接用c++自带的STL容器来完成操作。

具体操作如下：

// 导入queue包
#include<queue>

// 申明一个queue对象
// 填入你想装填的数据类型
queue<int> qu;

// 进队
int a = 10;
qu.push(a);

// 出队，无返回值
qu.pop();

// 取队首元素
int front = qu.front();

概述

今天我们来学拓扑排序
什么是拓扑排序呢？
百度百科这样说：

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

什么意思呢？

俗话说的好：

实践是真理的试金石

那么，就让我们举一个例子吧！
如图，1、2、3、4、5几个点组成了一个图。

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那么，1，2，4，3，6，5或1，2，4，3，5，6就是它的拓扑序

但是，这是如何实现的呢？请看下面的算法原理。

算法原理

下面我将使用图文结合的方式演示拓扑排序的算法原理。

还是上面那张图。
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首先，将入度为0的点入队。上图中是点1。

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然后，用宽搜遍历队列。
对每个点的每轮遍历步骤如下：

将这个点出队，并加入拓扑数组中
遍历这个点的所有出度
将其出度点的入度数量减少一
如果其出度点入度为0，入队

那么，一轮下来，就变成这样子了：
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以此类推。

遍历到点3时，是这样的：
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……

然后，就没有然后了，一切结束。
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如图所示，其拓扑序为1，2，4，3，5，6。当然，也可以是1，2，4，3，6，5。

算法实现

这可以变为以下的问题。我称为拓扑排序元问题。

给你一个有向无环图，请输出它的拓扑序（m条有向边，n个结点）

建图（邻接表存图）

首先，我们要建图
这里采用邻接表建图。

邻接表是什么？
以点为一个结点，用其邻接点建表

怎么这么朦胧？好吧，偷懒了，自己查百度……

看到这里，就默认你会了建图操作。那么，放一下代码。
（此处设定为m条有向边）

for(int i=1;i<=m;i++)
{
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	rd[y]++;
	e[x].push_back(y);
}

rd[y]++ 是什么意思？请往后看。

入队

上面提到，首先，将入度为0的点入队。
那么，我们就遍历一遍n个点，当遇到入度为0的点时，入队。

如何判断入度为0？

这时前面的 rd数组 就有用了。它是用于统计入度数的。
而前面为何是rd[y]++?
因为是 x指向y，因此y入度数加1

入队操作

非常简单！这里为了省力，用了STL容器
只需要**q.push（i）**一下就可以了

代码

	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(rd[i]==0) q.push(i);
		//入度为0，入队 
	}

核心部分

这部分的过程，我在前面是这样说的：

用宽搜遍历队列。
那就宽搜。

宽搜

没遍历到一个点，就将其弹出，并压入拓扑数组。

对每个点的操作

我在前面这样说：
对每个点的每轮遍历步骤如下：
1.将这个点出队，并加入拓扑数组中
2.遍历这个点的所有出度
3.将其出度点的入度数量减少一
4.如果其出度点入度为0，入队

那就照着做嘛。
很简单，实在看不懂代码中有注释。

代码

	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		topu.push_back(x);//推入拓扑数组 
		for(auto y:e[x])
		{
			rd[y]--;//删掉一条边 
			if(rd[y]==0)//入度为0 
			{
				q.push(y);//入队 
			}
		}
	}

好，大功告成！

算法元代码

上面没看懂的话，看下面的代码，含有注释。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int NN=5005;
int n,m,rd[NN];
//rd[i]表示i点的入度数 
vector<int>e[NN],topu;
//e作为邻接表存储用，topu储存拓扑序 
void tuopu()
{
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(rd[i]==0) q.push(i);
		//入度为0，入队 
	}
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		topu.push_back(x);//推入拓扑数组 
		for(auto y:e[x])
		{
			rd[y]--;//删掉一条边 
			if(rd[y]==0)//入度为0 
			{
				q.push(y);//入队 
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		rd[y]++;//x指向y，因此y入度数加1 
		e[x].push_back(y);//加边 
	}
	tuopu();
	for(auto x:topu)
	{
		printf("%d ",x);//输出拓扑序 
	}
}