和矩阵函数不同的是，函数矩阵本质上是一个矩阵，是以函数作为元素的矩阵。
矩阵函数本质上是一个矩阵，是以矩阵作为自变量的函数。
函数矩阵和数字矩阵的运算法则完全相同。
不过矩阵的元素
a
i
j
(
x
)
a_{ij}(x)
aij(x) 需要是闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上的实函数。
可逆：
A
(
x
)
B
(
x
)
=
B
(
x
)
A
(
x
)
=
I
A(x)B(x)=B(x)A(x)=I
A(x)B(x)=B(x)A(x)=I
B
(
x
)
是
A
(
x
)
的逆矩阵
B(x)是A(x)的逆矩阵
B(x)是A(x)的逆矩阵，记为
A
−
1
(
x
)
A^{-1}(x)
A−1(x)
若
A
(
x
)
的元素
a
i
j
(
x
)
在
x
=
x
0
点均有极限
a
i
j
,
则
A
(
x
)
有极限
,
记为
l
i
m
x
→
x
0
A
(
x
)
=
A
(
x
0
)
。
若A(x)的元素a_{ij}(x)在x=x_0点均有极限 a_{ij}, \\ 则A(x)有极限,记为\underset{x\rightarrow x_0}{lim}A(x)=A(x_0)。
若A(x)的元素aij(x)在x=x0点均有极限aij,则A(x)有极限,记为x→x0limA(x)=A(x0)。
则下面的等式成立
（
1
）
l
i
m
x
→
x
0
(
A
(
x
)
±
B
(
x
)
)
=
A
±
B
（
2
）
l
i
m
x
→
x
0
(
k
A
(
x
)
)
=
k
A
（
3
）
l
i
m
x
→
x
0
(
A
(
x
)
B
(
x
)
)
=
A
B
\begin{align*} &（1）\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(A(x)\pm B(x))=A\pm B\\ &（2）\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(kA(x))=kA \\ &（3）\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(A(x)B(x))=AB \\ \end{align*}
（1）x→x0lim(A(x)±B(x))=A±B（2）x→x0lim(kA(x))=kA（3）x→x0lim(A(x)B(x))=AB
看上去没有特别的地方，就是对每个元素进行求导积分即可。只是需要注意矩阵没有交换律。
积分的运算也差不多，对每个函数分别积分就行了。
线性向量微分方程
线性向量就是指的 n 阶常数矩阵 A。
定理一：
A
是一个
n
阶常数矩阵，则微分方程组
d
x
(
t
)
d
t
=
A
x
(
t
)
满足初始条件为
x
(
t
0
)
=
x
0
时，它的解为
x
=
e
A
(
t
−
t
0
)
x
0
A 是 一个 n 阶常数矩阵 ，则微分方程组\\ {\large \frac{dx(t)}{dt}}=Ax(t)\\ 满足初始条件为\large x(t_0)=x_0时，它的解为\\ \large x=e^{A(t-t_0)}x_0\\
A是一个n阶常数矩阵，则微分方程组dtdx(t)=Ax(t)满足初始条件为x(t0)=x0时，它的解为x=eA(t−t0)x0文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-759081.html
定理二：
设
A
是一个
n
阶常数矩阵，则微分方程组
d
x
(
t
)
d
t
=
A
x
(
t
)
+
f
(
t
)
满足初始条件
x
(
t
0
)
=
x
0
的解为
x
=
e
A
(
t
−
t
0
)
x
0
+
∫
t
0
t
e
A
(
t
−
τ
)
f
(
τ
)
d
τ
设A 是 一个 n 阶常数矩阵 ，则微分方程组\\ {\large \frac{dx(t)}{dt}}=Ax(t) + f(t)\\ 满足初始条件x(t_0)=x_0的解为\\ \large x=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^te^{A(t-\tau)}f(\tau)d\tau
设A是一个n阶常数矩阵，则微分方程组dtdx(t)=Ax(t)+f(t)满足初始条件x(t0)=x0的解为x=eA(t−t0)x0+∫t0teA(t−τ)f(τ)dτ
（看着像高数里面的微分方程，但是又不太像。）
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-759081.html
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