【计算机图形学|直线生成算法】中点画线法

概述

中点画线法（Midpoint Line Algorithm）是一种画线（Line Drawing）算法，用来在计算机屏幕上绘制线条。

它的基本思想是从线段的起点和终点出发，按照一定的规则向终点逐步逼近，并在途中以控制变量的方式得出每个像素点的坐标，从而绘制出所需的线条。

具体实现中，中点画线法通过计算线段斜率的变化情况，来分为斜率小于1和大于等于1两种情况，并采用Bresenham的对称性原理，以中点的颜色来控制每个像素点的生长方向，从而获得较高的绘制效率和图像质量表现。

总的来说，中点画线法是一种高效且易于实现的线段绘制算法，也是计算机图形学领域最基本的算法之一。

一、基本思想

当前像素点为$(x_p,y_p)$，下一个像素点为$P1$或$P2$。
设$M=(x_p+1,y_p+0.5)$为$P1$与$P2$之中点，$Q$为理想直线与$x=x_p+1$垂线的交点。将$Q$与$M$的$y$坐标进行比较。
当$M$在$Q$的下方，则$P2$应为下一个像素点；当$M$在$Q$的上方，则$P1$应为下一个像素点。

二、构造判别式:

$$d=F(M)=F(x_p+1,y_p+0.5)=a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c$$
其中，$a=y_0-y_1,b=x_1-x_0,c=x_0{y}_1-x_1{y}_0$.

• 当$d<0$时，$M$在$L(Q$点$)$下方，取右上方$P2(x_p+1,y_p+1)$为下一个像素；
• 当$d>0$时，$M$在$L(Q$点$)$上方，取右方$P1(x_p+1,y_p)$为下一个像素；
• 当$d=0$时，选$P1$或$P2$均可，约定取$P1(x_p+1,y_p)$为下一个像素；
• 

三、递推出增量

若当前像素处于：

$d\ge 0$情况，则取正右方像素$P1(x_p+1,y_p)$，要判下一个像素位置，应计算
$$d1=F(x_p+2,y_p+0.5)=a(x_p+2)+b(y_p+0.5)=d+a$$
增量为$a$。

$d<0$时，则取右上方像素$P2(x_p+1,y_p+1)$。要判断再下一像素，则要计算
$$d2=F(x_p+2,y_p+1.5)=a(x_p+2)+b(y_p+1.5)+c=d+a+b$$
增量为$a+b$。

优化：

由于画线从$(x_0,y_0$)开始，$d$的初值为：
$$d_0=F(x_0+1,y_0+0.5)=F(x_0,y_0)+a+0.5b=a+0.5b$$
可以用$2d$代替$d$来避免小数，提高效率。令$d_0=2a+b,d_1=2a,d_2=2a+2b$。

总结：

如果$d>0$，则中点$(x_{,}{y}_m)$在$L(Q)$的上方，此时应该取右边的像素点$P1(x_p+1,y_p)$，即$x$加1、$y$不变。此时，$d$的值增加$d1$，即$d=d+d1$。

如果$d<0$，则中点$(x_m,y_m)$在$L(Q)$的下方，应该取右上方的像素点$P2(x_p+1,y_p+1)$，即$x$和$y$均加1。此时，$d$的值增加$d2$，即$d=d+d2$。

四、例题分析

以P0（0,0）到P1（5,2）为例，使用中点画线法，计算$d_0$，$d_1$和$d_2$，并画出对应表格。

首先，根据两点坐标求出$a$、$b$、$c$的值，有：
$a=y_0-y_1=-2$
$b=x_1-x_0=5$
$c=x_0{y}_1-x_1{y}_0=-10$

接着，根据公式得到$d_0$，$d_1$和$d_2$的初值，有：
$d_0=2a+b=1$
$d_1=2a=-4$
$d_2=2a+2b=6$

然后，根据中点画线法的算法流程结合总结，可以按照如下表格计算每个像素点的坐标$(x_i,y_i)$以及$d_i$的变化：

其中，$P$表示像素点位置，$count$表示计数，$d$表示中点到直线距离的判别式值（经过放大2倍），根据$d>0$还是$d<0$判断所选的下一个像素点。对于$d=0$，约定选择右下方的像素点。

最终，依照算法，连线的轨迹如下：

P0 (0, 0) -> (1, 1) -> (2, 1) -> (3, 2) -> (4, 2) -> P1 (5, 2)

如下图：
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-762918.html

五、伪代码

/* mid PointLine */
void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color)
     {   int a, b, d1, d2, d, x, y;
    a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b;
    d1=2*a, d2=2* (a+b);
    x=x0, y=y0;
    drawpixel(x, y, color);
    while (x<x1)
    { if (d<0)       {x++, y++, d+=d2; }
     else       {x++, d+=d1;}
     drawpixel (x, y, color);
     }  /* while */
 } 

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