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坐标旋转分析
Cordic算法原理
应用举例1：求sin值与cos值
应用举例2：求反正切值
cosθ的还原补偿
坐标旋转数字计算机CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer)算法，通过移位和加减运算，能递归计算常用函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数，由J. Volder于1959年提出，首先用于导航系统，使得矢量的旋转和定向运算不需要做查三角函数表、乘法、开方及反三角函数等复杂运算。J. Walther在1974年用它研究了一种能计算出多种超越函数的统一算法。
坐标旋转分析
已知：OA逆时针旋转θ角度后得到OB，线段OA=OB，∠AOB=θ，A 点坐标（x1,y1）,B 点坐标（x2,y2）；
求证：x2=x1*cosθ - y1*sinθ；y2=x1*sinθ+ y1*cosθ
假设OA=OB=m；
假设点B在第一象限，
x1=m*cosα，y1=m*sinα。
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-763387.html
x2=m*cos(α+θ)=m*(cosαcosθ- sinαsinθ)
=m*(cosαcosθ- cosαtanαsinθ)
=m*cosα*(cosθ- tanαsinθ)
=x1*(cosθ- tanαsinθ)
=x1*cosθ-x1* tanαsinθ
=x1*cosθ-y1* sinθ
y2=m*sin(α+θ)=m*(sinαcosθ+ cosαsinθ)
=m*sinαcosθ+ m*cosαsinθ)
=y1cosθ+x1sinθ
假设点B在第四象限，
x1=m*cosα，y1=m*sinα。
x2=m*cos(360°-(θ+α))=m*cos(-(α+θ))=
=m*cos(α+θ)=m*(cosαcosθ- sinαsinθ)
=m*(cosαcosθ- cosαtanαsinθ)
=m*cosα*(cosθ- tanαsinθ)
=x1*(cosθ- tanαsinθ)
=x1*cosθ-x1* tanαsinθ
=x1*cosθ-y1* sinθ
y2=-m*sin(360°-(θ+α))=-m*sin(-(θ+α))
=m*sin(α+θ)=m*(sinαcosθ+ cosαsinθ)
=m*sinαcosθ+ m*cosαsinθ)
=y1cosθ+x1sinθ
同理，无论A在第几象限，B旋转到第几象限，公式都成立。
Cordic算法原理
将坐标关系写成矩阵形式：
继续旋转第二次：
旋转第i次：
提取出cosθ便得到了初步的cordic算法公式：
如果将上式中的cosθ忽略掉，则称该旋转过程为伪旋转，角度正确，但是模长变化，即：
由于硬件比较容易通过移位实现2的乘法与除法，我们固定取第i次（从0开始计数）旋转的角度为
，也就是
。
参考下表，一般设置旋转16次，既可以认为得到比较精准的逼近值。
| 第i次旋转 |
tanθi |
角度 |
旋转弧度 |
| 0 |
2^-0 |
45° |
0.78539 |
| 1 |
2^-1 |
26.565° |
0.46365 |
| 2 |
2^-2 |
14.036° |
0.24498 |
| 3 |
2^-3 |
7.1250° |
0.12435 |
| 4 |
2^-4 |
3.5763° |
0.06241 |
| 5 |
2^-5 |
1.7899° |
0.03123 |
| 6 |
2^-6 |
0.8951° |
0.01562 |
| 7 |
2^-7 |
0.4476° |
0.00781 |
| 8 |
2^-8 |
0.2238° |
0.00391 |
| 9 |
2^-9 |
0.1119° |
0.00195 |
| 10 |
2^-10 |
0.0559° |
0.00098 |
| 11 |
2^-11 |
0.0279° |
0.00049 |
| 12 |
2^-12 |
0.0139° |
0.00024 |
| 13 |
2^-13 |
0.0069° |
0.00012 |
| 14 |
2^-14 |
0.0035° |
0.00006 |
| 15 |
2^-15 |
0.0017° |
0.00003 |
Cordic 算法的思想是通过迭代的方法，不断的旋转特定的角度，使得累计旋转的角度无限接近某一设定的角度，每次旋转的角度的θ = arctan( 1/(2^n) )；
以目标角度α=30°为例，可以经过如下迭代得到：
应用举例1：求sin值与cos值
当z(0)=30°时，计算sin z(0),cos z(0).
迭代计算方法如下表，其中z(i)表示第i次迭代前和目标角度的差值；di表示z(i)的正负；θ(i)表示第i次迭代发生旋转的角度；y(i)为第i次迭代前的纵坐标；x(i)为第i次迭代前的横坐标；
迭代过程中，根据下式计算x(i+1)与y(i+1)的值，tanθ直接调用上一节表格中的值进行计算。
迭代过程如下：
通过cordic算法后，得到sin30°=0.5006，cos30°=0.8657。
结果没有问题，但是x(0)为什么取0.6073呢？继续往下看吧～答案就在后面～
应用举例2：求反正切值
当y(0)=2，x(0)=1，求
.
z(i)表示第i次旋转前总共旋转的角度；θ(i)表示第i次迭代发生旋转的角度；y(i)表示第i次旋转前的纵坐标；di表示θ(i)的正负方向，在下表中省略。
通过cordic算法后，得到
。
cosθ的还原补偿
前面分析cosθ时讲到了伪旋转，每旋转1次，模长缩小了cosθi，我们如果最终须要恢复原有模长的话，就需要在最后的结果上乘以补偿系数An。
设Ai为第i次旋转的补偿系数，，根据三角函数及勾股定理可得：
补偿因子An：
旋转的次数越多，旋转的角度趋近于0°，Ai趋近于1，经过计算，当n趋于无穷大时，An趋近于0.607252935。
即，当i趋于无穷大时：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-763387.html
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