动态规划：矩阵连乘问题（文末附有手写版例题）-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了动态规划：矩阵连乘问题（文末附有手写版例题）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

连乘次数

A是一个p × q矩阵，B是一个q × r矩阵，AB相乘，得到的矩阵元素个数为p × r，每个元素由q次乘法得到，因此所需乘法次数为p × q × r。

问题描述

在计算矩阵连乘积时，加括号的方式对计算量有影响。

例如有三个矩阵A1,A2,Ag连乘，它们的维数分别为
10x100，100×5，5×50。用第一种加括号方式(A1A2)A3计算，则所需数乘次数为

10×100×5＋ 10×5×50 = 7500。用第二种加括号方式A1(A2A3)计算，需要

100×5×50+10×100 x50=75000次数乘。

Sample Input

6
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20
20 25

Sample Output

15125
((A1(A2A3))((A4A5)A6))

解题思路：

先引入以下符号:

n表示矩阵的个数。

表示第i个矩阵。

A[i: j]表示矩阵连乘 $矩阵相乘次数动态规划,算法设计与分析,动态规划,算法$

表示的列数

表示的行数

k表示矩阵连乘断开的位置为k，表示在和 $矩阵相乘次数动态规划,算法设计与分析,动态规划,算法$ 之间断开

m[i,j]表示A[i:j]的最少乘次,m[1, n]即问题的最优解

符号解释：由矩阵相乘的条件可知：前一个矩阵的列数 = 后一个矩阵的行数。因此，既是的列数，也是 $矩阵相乘次数动态规划,算法设计与分析,动态规划,算法$ 的行数。结合下面的示意图有助于理解：

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该问题有一个关键特征：计算矩阵链A[1:n]的最优计算方式，包含了子矩阵链A[1:k]和A[k+1:n]的最优计算方式。

一般地，如果原问题的最优解，包含了其子问题的最优解，则我们称这种性质为最优子结构性质。若问题具有最优子结构性质，则可用动态规划算法求解。

首先，建立递归关系，写出递归公式：

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公式解释:假设k是对矩阵链A[i:j]一分为二得到最优解时的断开位置，则m[i,k]和m[k+1,j]分别是两个子矩阵链A[i,k]和A[k+1,j]的最优解。两个矩阵最后要相乘才能得到A[i,j]，因此，最后要加上，也就是两子矩阵相乘的数乘次数，才能得到总的数乘次数。

然后，根据递归公式计算最优解。

在程序中，m的实现是一个二维数组，也就是一张二维表，为了方便计算,m的下标从1开始。要计算A[1:n]的最少乘次，本质上是求m[1][n]的值，也就是二维表表右上角的值。

例如，连乘矩阵个数为6，维数分别为：

A1(30×35),A2(35×15),A3(15×5),A4(5×10),A5(10x20),A6(20×25)

填表方式如下图所示：

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原问题现已转化为填表问题，要填充的是矩阵右上三角部分的值。
根据递归公式，对角线的值为0。其他值需要根据于断开位置k的值来得到，k ∈[i,j)，我们要遍历所有k，就要访问所求值的所有同一行左边的值和同一列下方的值。因此，在代码中我们可以使用自底向上、从左到右的计算顺序来依次填充，最终得到右上角的值。

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伪代码如下：

    for i<-1 to n do
        dp[i][i] = 0
    for length<-2 to n do				//length是相乘矩阵链的长度
        for begin<-1 to n-length+1 do	//begin是相乘矩阵链的第一个矩阵
            end = begin + length - 1	//end是相乘矩阵链的最后一个矩阵
            dp[begin][end]<-∞
            for index <- begin to end-1 do
                temp = dp[begin][index] + dp[index+1][end] + p[begin-1]*p[index]*p[end]
                if temp < dp[begin][end] then
                    dp[begin][end] = temp

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100;
int A[N];//矩阵规模
int m[N][N];//最优解
int s[N][N];
void MatrixChain(int n)
{
	int r, i, j, k;
	for (i = 0; i <= n; i++)//初始化对角线
	{
		m[i][i] = 0;
	}
	for (r = 2; r <= n; r++)//r个矩阵连乘
	{
		for (i = 1; i <= n - r + 1; i++)//r个矩阵的r-1个空隙中依次测试最优点
		{
			j = i + r - 1;
			m[i][j] = m[i][i]+m[i + 1][j] + A[i - 1] * A[i] * A[j];
			s[i][j] = i;
			for (k = i + 1; k < j; k++)//变换分隔位置，逐一测试
			{
				int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + A[i - 1] * A[k] * A[j];
				if (t < m[i][j])//如果变换后的位置更优，则替换原来的分隔方法。
				{
					m[i][j] = t;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
}
void print(int i, int j)
{
	if (i == j)
	{
		cout << "A[" << i << "]";
		return;
	}
	cout << "(";
	print(i, s[i][j]);
	print(s[i][j] + 1, j);//递归1到s[1][j]
	cout << ")";
}
int main()
{
	int n;//n个矩阵
	cin >> n;
	int i, j;
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		cin >> A[i];
	}
	MatrixChain(n);
	cout << "最佳添加括号的方式为：";
	print(1, n);
	cout << "\n最小计算量的值为：" << m[1][n] << endl;
	return 0;
}

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