矩阵、向量组与线性方程专题

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线性代数专题

1、什么是矩阵的行满秩和列满秩，和矩阵的秩之间的关系是什么？

在线性代数中，矩阵的行满秩和列满秩是两个重要的概念。一个n $\times $ m 的矩阵A，

若其行向量线性无关，则称A为行满秩；

若其列向量线性无关，则称A为列满秩。

而矩阵的秩代表的是其行向量或列向量组成的空间的维数。矩阵的秩即为其行秩和列秩中的较小值。

2、矩阵的秩的最大值取决于行秩和列秩中较小的那一个

思路1：

在线性代数中，矩阵A的秩是由其行向量或列向量所张成空间的维度决定的。也就是说，如果矩阵A中的某些行向量或列向量可以用其他行向量或列向量的线性组合表示出来，那么这些行向量或列向量对于确定空间的维度是没有帮助的，因此对于计算矩阵A的秩没有贡献。这样一来，我们只需要选择出任意一组最大的线性无关的行向量或列向量就能够得到矩阵A的秩。

因此，我们只要选择行秩和列秩中较小的那一个就可以表示该矩阵。

这也说明了另外一个问题，即为什么矩阵的秩与其转置矩阵的秩相同。

矩阵A与其转置矩阵A^T在行空间和列空间上具有相同的维度，因此它们的秩也相等。这就解释了为什么矩阵A与其转置矩阵A^T具有相同的秩。

思路2：实例

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \tag{1}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \tag{2}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \tag{3}$

矩阵（1），化简成行阶梯型矩阵如（3）所示，此时可以看出该矩阵的秩为2。而实际上，等于其列向量的秩2，小于其行向量的秩3。

3、矩阵的秩与其逆矩阵的秩的关系

矩阵的秩和其逆矩阵的秩之间有着重要的联系。具体地说：

对于一个 n $\times$ n 的矩阵 A，若其可逆，则其满秩，秩为n。
对于一个 n $\times$ n 的矩阵 A，若矩阵A秩为n，即满秩，则其一定可逆，并且逆矩阵A^-1也是满秩的。

4、| A | ≠ 0和矩阵可逆是充要条件

若一个n阶方阵A行列式不等于0，那么A一定是可逆矩阵。因为如果行列式不等于0，那么A一定存在逆矩阵，这可以用伴随矩阵求逆矩阵来证明。
$^- = \frac {A^*}{|A|}$

也可以用上面所说的矩阵的秩与其逆矩阵的关系来说明，当 | A | ≠ 0 时，说明组成方阵的向量都为线性无关，则其可逆。

5、设 m 个 n 维向量，如果向量维数 n < 向量个数 m，即方程个数＜未知数个数，则线性方程组求解时必有未知量，即必有非零解，因此任何 n+1 个 n 维向量都是线性相关的

思路1：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 5\\ \end{bmatrix}$
用向量组的角度来思考。

上述矩阵有3个列向量，列向量的维数为2。该矩阵的秩取决于行秩和列秩的最小值，行秩为2，列秩为3，取2。

又因为矩阵的秩表示线性无关向量的个数，因此3个列向量中，只有2个是线性无关的，另外1个是线性相关的。

发现了一个问题，矩阵要求秩，可以做初等变化，化为阶梯型矩阵判断，而单独看行向量组成的秩、列向量组成的秩，它们之间的线性无关是不可以做初等变化的。因此上述列向量的秩是3，而列向量组成矩阵之后，矩阵的秩为2。

思路2：

结合线性方程组的角度来思考。就让独立方程个数等于所给方程的个数 n ，即约束个数或秩为n（因为所给方程中可能含有多余的方程，秩=约束个数=独立方程个数≤所给方程个数），而向量个数 m 对应着未知数个数（因为m个向量对应着前面m个未知数系数），即自由度。一个自由度需要一个约束条件，如果约束个数小于自由度个数m，那么多余的自由度 m - n 就张成了几何上的m - n维空间，即有非零解，有无穷多解。

秩为n，小于m，则线性相关。

据此可以进而理解下面一条。

6、 $A_{mn}\boldsymbol x = \boldsymbol 0$ ，当 r(A)= r < n 时， $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 线性相关，方程组有非零解，且有 n - r 个线性无关解。

系数矩阵的秩 = 约束个数 < 未知数个数时，有多余的自由度 n - r(A)，即线性无关的向量个数，张成了几何上的 n - r(A) 维空间，即有无穷多解，这无穷多解可以用这n - r(A)个线性无关的解向量来表示。因此也说明 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是线性相关的。

7、n个n维列向量线性相关 <=> | A | = 0 <=> Ax = 0 有非零解

行列式为0，则说明组成行列式的向量线性相关。

假设有 n个 n维列向量 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2, \cdots ,\boldsymbol v_n$ ，如果这些列向量线性相关，那么至少存在一组不全为零的标量 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ，使得

a₁v₁+a₂v₂+⋯+a_nv_n=0，或者写成矩阵形式： $A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 。其中 $\boldsymbol A$ 是由 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 列向量组成的系数矩阵，x其实相当于向量前的系数集。因为至少存在一组非零的解 $\boldsymbol a$ ，所以方程 $A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 有非零解。而x有非零解，就表明存在不全为0的系数，则线性相关。

这样也可以知道，后面在求解线性方程组的时候，其实得到的解x₁，x₂，x₃，…，x_n，就是描述向量之间关系的表示系数。（这点对于下面一条也有帮助）

8、在线性方程组中， $A_{mn}\boldsymbol x = \boldsymbol 0$ ，r(A)= n 时， $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 线性无关，方程组有唯一的解。

$A_{mn}\boldsymbol x = \boldsymbol 0$ ，r(A)= n 时， $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 线性无关，方程组有唯一的解。

其中A为系数矩阵，即由n个m维列向量组成。当r(A)= n时，说明列满秩；列满秩，则说明列向量都线性无关；而线性无关，则说明当系数 $x_1,x_2,\cdots, x_m$ 全为0的时候，才有
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 + \cdots + x_m\boldsymbol a_m = \boldsymbol 0$
而根据第六条可知，这里的系数 $x_1,x_2,\cdots, x_m$ ，就是线性方程的解。因此方程组有唯一的解，唯一的零解。

9、为什么对m个n维向量，若存在一组不全为0的数，使得线性组合方程=0有非零解，则向量组线性相关

如果对于 m 个 n 维向量 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_m$ ，存在不全为零的系数 $k_1,k_2,\cdots, k_m$ ，使得
$k_1\boldsymbol v_1 + k_2\boldsymbol v_2 + \cdots + k_m\boldsymbol v_m = \boldsymbol 0$

这意味着至少有一个 k_i 不为零，不失一般性，设 k_i≠0，则上式可以变形为
$\boldsymbol v_1=-\frac{k_2}{k_1}\boldsymbol v_2-\frac{k_3}{k_1}\boldsymbol v_3 - \cdots - \frac{k_m}{k_1}\boldsymbol v_m，$
这表示 v₁ 可以被其他向量线性表示出来，即 v₁ 可以看作是其他向量的线性组合。因此，这些向量是线性相关的。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-775799.html