4.3.4 向量的点积
两个向量的点积是⼀个标量，其数值为两者⻓度相乘，再乘以两者夹⾓的余弦：
a·b=|a|·|b|cosθ⽤坐标表⽰，公式为
(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2
注意到，两个向量的点积是⼀个数（标量），只有⼤⼩，没有⽅向。⽽且点乘满⾜交换律，如向量a·b=b·a。数学中的所有运算规则都有着深刻的内涵。向量加减法的定义是⽐较直观的，那么点乘为什么这么定义，⼜有什么⽤呢？⾸先⽐较明显的⼀点是，由于夹⾓的余弦具有正负值，因此通过两个向量的点积正负，可以快速判断两个向量的夹⾓。
若点积等于0，则两者垂直；
若点积⼤于0，则两者夹⾓⼩于90°；
若点积⼩于0，则两者夹⾓⼤于90°。
不⽤考虑夹⾓⼤于180°的情况，读者可以想想为什么（提⽰：点乘满⾜交换律）。
点积还有⼀个重要含义——投影距离。考虑⼀个问题：如图4-10所⽰，⻋辆正在沿向量b的⽅向⾏进，前⾯有⼈拉⻋，但拉⻋的⼒为向量a，向量a与向量b存在30°夹⾓。很明显，拉⼒a并没有全部转化为对⻋的牵引⼒，垂直于⻋辆前进⽅向的⼒被抵消了，真正对⻋辆⾏进有贡献的⼒是a'，那么a'如何计算呢？直接⽤点乘即可。但是，如果直接⽤a点乘b，结果会受b的⻓度影响。为了去除b⻓度的影响，只取b的⽅向，将b标准化即可。
上述算法⽤如下代码表达：
Vector3 a=new Vector3(2,1,0);
Vector3 b=new Vector3(3,0,0);
Vector3 dir_b=b.nomalized; //dir_b是标准化的向量b
float pa=Vector3.dot(a,dir_b); //pa即是向量a在向量b⽅向的投影⻓度
4.3.5 向量的叉积
为结合实际，本⼩节只讨论三维向量的叉积。两个向量的叉积是⼀个新的向量，新向量垂直于原来两个向量所构成的平⾯，如图4-11所⽰。叉积的⽅向⽤左⼿定则判断（⽤左⼿还是右⼿与坐标系有关）。
⼿掌沿第1个向量放平，向第2个向量握拳，拇指的指向即叉积⽅向。当向量a与向量b共线（同向或反向）时，叉积为0向量。可以看出，两个向量叉乘的顺序不同，⼿掌转向会不同，结果⽅向相反，因此叉乘不满⾜交换律。在游戏开发中也经常会使⽤叉积，因为叉积有着⼀个重要的⽤途——求法线，如图4-12所⽰。
简单来说，法线就是垂直于平⾯的线，⽤法线可以⽅便地指代平⾯的朝向。在游戏开发中，平⾯要区分正反两⾯，因此法线⽤向量表⽰，法线⽅向就是平⾯的⽅向。⼀般法线⻓度固定为1以便计算。有了叉积，很多时候可以⽅便地获取法线。例如，玩家站在地形的⼀个平⾯上，想要获取平⾯法线，需要先⽤其他⽅法获得平⾯上的任意两个向量，只要这两个向量夹⾓不为0°或180°，取它们的叉积就可以获得法线向量（也可以将叉积结果标准化）。其对应的脚本写法如下。
Vector3 a=new Vector3(2,1,1); //a和b是某个平⾯上的任意两个向量
Vector3 b=new Vector3(3,0,2);
Vector3 n=Vector3.Cross(a,b); //n是该平⾯的法线
n=n.nor m alized; //将n标准化4.3.6 Vector3结构体
提⽰：C#中有类（class）和结构体（struct）区别，虽然它们都具有字段、属性和⽅法，但是前者是引⽤类型，后者是值类型，在使⽤时区别不⼩。Vector2和Vector3属于结构体，详情可参考C#语⾔与结构体相关的语法。在Unity中，与向量有关的结构体有Vector2、Vector3，分别⽤来表⽰⼆维向量和三维向量，其中Vector3最为常⽤。下⾯列举Vector3的属性（表4-1）、⽅法（表4-2）和运算符（表4-3）。
4.3.7 位置与向量的关联
在数学中，点的坐标与向量是不同的概念，如图4-13所⽰。
在数学符号系统中，点⽤⼤写字⺟表⽰，向量会以两个点的名称再加顶上箭头表⽰，或者⽤⼩写字⺟加顶上箭头表⽰，印刷品会以⿊斜体⼩写字⺟表⽰。总之在表⽰向量时，有特定的符号和记法，以使读者能够⽐较清楚地区分向量和点。⽽在程序中，向量和坐标位置的记法就⽐较模糊，这可能会引起混淆。
向量和坐标可以混合计算，这也代表它们本质上是有联系的。A点的坐标既是⼀个位置坐标，⼜是向量 的值（O是坐标原点，坐标为(0,0)，所以⽤A点的坐标减去O点的坐标就得到了向量 ）。换句话说，任何⼀个点的坐标都可以看成从原点到该点的向量。由于向量是⾃由向量，它的起点可以任意平移，因此它更多地表⽰⼀个相对关系。
在脚本中，向量和位置都是以Vector3表⽰的，那如何区分坐标和向量呢？实际上，仅从字⾯上⽆法区分，关键是代码的意图决定了Vector3的意义。
//这是当前物体的A坐标
Vector3 p1=transform.position;
//这是物体B的坐标
Vector3 p2=gameObjectB.transform.position;
//这是从当前物体A到B的向量
Vector3 diff=p2-p1;
//获得了⼀个新的坐标C，位于⽐B远离当前物体A⼀倍的位置
Vector3 p3=p2+diff;
//从物体C的位置出发，发⽣从A到B的位移，得到新的坐标
Vector3 p3=gameObjectC.transform.position+diff;
//调整向量的⻓度为⼀半
Vector3 diffHalf=diff*0.5f;以上代码中，坐标和向量不仅都⽤Vector3表⽰，⽽且它们之间还会发⽣运算，常⽤的情况如表4-4所⽰。
表4-4 坐标与向量的关系
向量的加减法看似⾮常简单，但是在游戏开发中⾮常常⽤，例如以下问题。
问题1：在玩家⾓⾊头顶1⽶处添加粒⼦。
问题2：在玩家⾓⾊前⽅1⽶处⽣成炮塔。
问题3：敌⼈瞄准玩家前⽅0.5⽶处（射击的提前量）。
问题4：敌⼈⼀边朝玩家移动，⼀边躲开危险区域。
前3个问题⽤“坐标+向量”的⽅法即可解决。问题4代表了⼀类游戏AI问题，了解了向量的基本运算就不难解决了。
4.3.8 向量坐标系的转换
在Unity中，可以使⽤transform.TransformPoint()⽅法将局部坐标转换为世界坐标，也可以使⽤transform.InverseTransformPoint()⽅法将世界坐标转换为局部坐标transform.TransformDirection()和transform.InverseTransformDirection()⽅法则⽤于向量的全局坐标系和局部坐标系之间的转换。两者的差异在于TransformPoint()是转换坐标专⽤的，TransformDirection()是转换向量专⽤的。以下通过⽰例讲解如何通过全局坐标系和局部坐标系改变物体的运动⽅向。01 在Unity场景中，新建⼀个⽴⽅体，并将旋转的Y值改为300，也就是沿y轴旋转300°。02 新建脚本CoordinateLocal.cs，其内容如下。
using UnityEngine;
public class CoordinateLocal:MonoBehaviour{
void Upd ate(){
transform.Translate(Vector3.forward*Time.deltaTime);
}
}将该脚本挂载到⽴⽅体上，运⾏游戏，会看到⽴⽅体沿着⾃⾝的z轴⽅向慢慢移动。
03 新建脚本CoorindateWorld.cs，其内容如下。
using UnityEngine;
public class CoordinateWorld:MonoBehaviour{
void Upd ate(){
Vector3
v=transform.InverseTransformDirection(Vector3.forward);
transform.Translate(v*Time.deltaTime);
}
} 将新建的脚本挂载到⽴⽅体上，并取消勾选原来的脚本CoordinateLocal.cs，因此就只有新的脚本发挥作⽤了。可以通过取消勾选或勾选的⽅式在两个脚本之间切换。这时运⾏游戏，就会发现⽴⽅体沿着世界坐标系的z轴⽅向移动了。下⾯解释⼀下以上结果。
transform.Translate()函数默认是以局部坐标系为基准的，因此在第1个脚本中，虽然Translate()函数参数为Vector3.forward，但是依然会以局部坐标系的前⽅为准。Vector3.forward的值是常数(0,0,1)，它在不同的坐标系代表不同的“前⽅”。
第2个脚本稍微复杂⼀点，由于Translate()函数默认以局部坐标系为准，因此就要把世界坐标系的“前⽅”转化为局部坐标系的向量v。这⾥认为Vector3.forward是世界坐标系的“前⽅”，⽤
InverseTransformDirection()⽅法将向量(0,0,1)以局部坐标系表⽰（也就是向量v），然后以v作为参数执⾏Translate()⽅法，就会使⽴⽅体朝世界坐标系的前⽅移动了。
4.4 矩阵简介
与向量⼀样，矩阵也是3D数学的基础。矩阵就像⼀个表格，具有若⼲⾏和列。要正确进⾏物体的位移、旋转和缩放变换，就必须要⽤到矩阵。3D游戏中的向量⼀般只有3个维度，但矩阵要使⽤4×4 矩阵，主要原因是要⽤矩阵实现平移，3×3矩阵是不够的。4×4 矩阵是能够正常进⾏所有常⽤变换的最⼩矩阵。
4.4.1 常⽤矩阵介绍
介绍3D游戏中矩阵算法的问题远超出了本书的介绍范围，以下仅展⽰单独的平移、旋转和缩放矩阵，让读者对矩阵有⼀个直观的认识，消除陌⽣感。
2. 旋转矩阵
缩放矩阵可以对向量的各个分量进⾏缩放，向量v与S(q)相乘后，v的3个分量分别缩放qx、qy、qz倍。矩阵变换最强⼤的地⽅在于，它可以通过矩阵乘法进⾏组合，组合以后通过⼀个矩阵就可以表⽰⼀组连续的变换操作，假设有3个矩阵S、R、T分别进⾏缩放、旋转、位移操作，三者相乘得到了M矩阵。那么vSRT=vM⽤向量v依次乘以S、R、T矩阵以进⾏变换，得到的结果和向量v直接乘以M矩阵得到的结果是⼀致的。
虽然矩阵的作⽤很强⼤，但是由于其使⽤有⼀定门槛，因此Unity封装了⼀些矩阵和变换函数，⽤户可以直接使⽤。旋转相关的问题还可以⽤四元数（Quaternion）来解决，进⼀步降低了直接操作矩阵的必要性。
4.4.2 ⻬次坐标
在3D数学中，⻬次坐标就是将原本的三维向量(x, y, z)⽤四维向量(x, y, z, w)来表⽰。引⼊⻬次坐标有如下⽬的。更好地区分坐标点和向量。在三维空间中，(x, y, z)既可以表⽰⼀个点，也可以表⽰⼀个向量。如果采⽤⻬次坐标，则可以使⽤(x, y, z,1)代表坐标点，⽽⽤(x, y, z, 0)代表向量。在进⾏⼀些错误操作时，例如将两个坐标点相加，会⽴即得到⼀个错误的结果，避免引起混乱。
统⼀⽤矩阵乘法表⽰平移、旋转和缩放变换。3×3的矩阵可以⽤于表⽰旋转和缩放矩阵，但是⽆法表⽰平移。⽤4×4的矩阵就可以表⽰所有的常⽤变换，包括平移、旋转、缩放、斜切，以及它们的组合。⻬次坐标是计算机图形学中⼀个⾮常重要的概念，但在游戏逻辑开发中很少考虑⻬次坐标的问题，只在处理渲染问题或编写着⾊器时会⽤到。
4.5 四元数
在场景窗⼝中旋转物体是⼀项基本操作。可以⽤旋转⼯具改变物体⾓度，也可以在Inspector窗⼝中改变物体的X、Y、Z值（欧拉⾓）来改变物体⾓度，如图4-14所⽰。
⽤欧拉⾓表⽰⾓度和旋转，简单⼜直观。但⼀般⼈想不到，物体在三维空间中的旋转并不是⼀个简单问题，⽤3个⾓度表⽰是远远不够的。
4.5.1 万向节锁定
要说明三维物体旋转的复杂性，从“万向节锁定”这⼀问题⼊⼿最有说服⼒。虽然可以调整欧拉⾓到任意⾓度，但欧拉⾓的3个轴并不是独⽴的，x轴、y轴和z轴之间存在嵌套结构，如图4-15所⽰，这种嵌套结构被称为“万向节”，意思是可以转到任意⾓度的关节。
当中层轴旋转时，会带动内层的轴跟着旋转。通常三维软件的欧拉⾓，从外层到内层是按照y轴→x轴→z轴的顺序，也就是说沿x轴的旋转会影响z轴。
万向节锁定的详细介绍在⽹上资料很多，感兴趣的读者可以多看⼀些资料深⼊理解。下⾯⽤Unity演⽰怎样让万向节锁定。
01 在场景中新建⼀个⽴⽅体。
02 ⽤⿏标在Inspector窗⼝中朝向的X、Y、Z这3个字⺟上拖曳，不要在场景中⽤⿏标直接旋转物体，这样可以看到3个轴分别是如何旋转的。
03 将绕x轴的旋转改为90°，y轴和z轴的旋转改为0。
04 ⽤⿏标在旋转的Y和Z字⺟上拖曳，修改绕y轴和z轴的旋转。这时会发现，绕y轴和z轴的旋转⽅向变成⼀样了，缺少了⼀个⾃由度，如图4-16所⽰。
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-776741.html
⼩提⽰
Unity引擎内部并没有万向节锁定问题值得说明的是，Unity内部是⽤四元数表⽰物体的旋转，这⾥并不会真的遇到锁定问题，只是在编辑器界⾯上模拟了万向节锁定的效果。如果⽤旋转⼯具在场景⾥直接旋转物体，就跳过了编辑窗⼝的限制，物体仍然可以⾃由旋转。
按照上述步骤操作，会顺利进⼊“万向节锁定”的状态。⼀旦进⼊此状态，物体旋转就会受限制。如果游戏系统是基于欧拉⾓设计的，那么在主⾓会俯仰运动的游戏，特别是空战游戏中，万向节锁定问题会显得⾮常严重，如⻜机在俯冲时的操纵就会变得很奇怪，⽽且在其他类型游戏中也会带来各种各样的问题。讲到这⾥，读者可能还没有完全理解3D旋转的奥妙，但它具有的复杂性已经⽏庸置疑了。幸运的是，爱尔兰数学家、物理学家哈密尔顿在1843年提出的“四元数”能够让我们跨越欧拉⾓，彻底解决旋转难题。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-776741.html
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