二叉树的定义
二叉树（Binary Tree）是一种常见的树形结构，它由节点（Node）和节点之间的关系构成。每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树中的每个节点可以为空（null）。
二叉树的性质
- 每个节点最多有两个子节点：每个节点最多有一个左子节点和一个右子节点。这意味着一个节点的度数（Degree）最大为2。
- 左子树和右子树的顺序是固定的：在二叉树中，左子树位于父节点的左侧，右子树位于父节点的右侧。改变左右子树的顺序将产生不同的二叉树。
- 节点的度数：节点的度数是指该节点的子节点数量。二叉树中，节点的度数最大为2，即一个节点最多有两个子节点。
- 叶节点（叶子节点）：叶节点是没有子节点的节点，也可以称为终端节点。
- 节点的层级（Level）：根节点的层级为1，其余节点的层级为其父节点的层级加1。
- 树的高度（Height）：树的高度是从根节点到最远叶节点的最长路径上的边数。叶节点的高度为0，空树的高度为-1。
- 完全二叉树（Complete Binary Tree）性质：在完全二叉树中，除了最后一层外，其他层的节点都是满的，且最后一层的节点都尽量靠左排列。
- 满二叉树（Full Binary Tree）性质：在满二叉树中，除了叶节点外，每个节点都有两个子节点。
- 二叉搜索树（Binary Search Tree）性质：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：对于树中的每个节点，其左子树中的所有节点都小于该节点的值，而其右子树中的所有节点都大于该节点的值。
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) (i > 0)个结点。
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k - 1 (k>=0)。
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0，度为2的非叶结点个数为 n2，则有 n0 ＝ n2 ＋ 1。
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2 (n + 1) 上取整。
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
若 i > 0，双亲序号：(i - 1) / 2；i = 0，i 为根结点编号，无双亲结点。
若 2i + 1< n，左孩子序号：2i + 1，否则无左孩子。
若 2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，否则无右孩子。
二叉树的存储
二叉树可以使用不同的数据结构进行存储。以下是几种常见的二叉树存储方式：
- 链式存储（Linked Storage）：使用节点对象和指针来表示二叉树的结构。每个节点对象包含存储的数据以及指向左子节点和右子节点的指针。这种存储方式可以直观地表示树的结构，适用于任意形状的二叉树。Java中常用的LinkedList数据结构可以用来实现二叉树的链式存储。
- 数组存储（Array Storage）：使用数组来表示二叉树的结构。可以使用一维数组或二维数组来存储节点的数据。通过数组的索引关系来表示节点之间的父子关系。这种存储方式可以节省存储空间，但适用于完全二叉树或满二叉树等具有规律结构的二叉树。
- 堆存储（Heap Storage）：使用堆（Heap）数据结构来存储二叉树。堆是一种特殊的完全二叉树，通常使用数组来实现。在堆存储中，节点的位置是通过数组的索引来确定的。堆存储常用于实现优先队列等应用。
二叉树的实现
class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left; // 左孩子引用
public TreeNode right; // 右孩子引用
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
A
/ \
B C
/ \ \
D E F
TreeNode root = new TreeNode('A');
root.left = new TreeNode('B');
root.right = new TreeNode('C');
root.left.left = new TreeNode('D');
root.left.right = new TreeNode('E');
root.right.right = new TreeNode('F');
二叉树的遍历方法
- 前序遍历（Preorder Traversal）：先访问根节点，然后按照左子树、右子树的顺序递归遍历子树。
- 遍历结果：A -> B -> D -> E -> C -> F
- 中序遍历（Inorder Traversal）：先按照左子树、根节点、右子树的顺序递归遍历子树。
- 遍历结果：D -> B -> E -> A -> C -> F
- 后序遍历（Postorder Traversal）：先按照左子树、右子树的顺序递归遍历子树，最后访问根节点。
- 遍历结果：D -> E -> B -> F -> C -> A
- 层序遍历（Level Order Traversal）：从上到下逐层遍历二叉树的节点。
- 遍历结果：A -> B -> C -> D -> E -> F
-
s形层次遍历
-
遍历结果：A -> C -> B -> D -> E -> F
-
递归实现
public void preOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
public void inOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
public void postOrder(TreeNode root) {
if(root == null) return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}非递归实现
public void preOrderIteration(TreeNode head) {
if(head==null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
stack.push(head);
while(！stack.isEmpty()) {
TreeNOde node=stack.pop();
System.out.print(node.val+" ");
if(node.right!=null) {
stack.push(node.left);
}
if(node.left!=null) {
stack.push(node.right);
}
}
}
public void inOrderIteration(TreeNode head) {
if(head==null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
TreeNode cur=head;
while(!stack.isEmpty()) {
while(cur!=null) {
stack.push(cur);
cur=cur.left;
}
TreeNode node=stack.pop();
System.out.print(node.val+"");
if(node.right!=null) {
cur=node.right;
}
}
}
public static void postOrderIteration(TreeNode head) {
if (head == null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack1 = new Stack<>();
Stack<TreeNode> stack2 = new Stack<>();
stack1.push(head);
while (!stack1.isEmpty()) {
TreeNode node = stack1.pop();
stack2.push(node);
if (node.left != null) {
stack1.push(node.left);
}
if (node.right != null) {
stack1.push(node.right);
}
}
while (!stack2.isEmpty()) {
System.out.print(stack2.pop().val + " ");
}
}层次遍历
/**
* 二叉树的层次遍历
*/
public void levelOrder() {
BtNode ptr = root;
Queue<BtNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(ptr);
while (!queue.isEmpty()) {
ptr = queue.poll();
System.out.print(ptr.getDate() + " ");
if (ptr.getLeftChild() != null) {
queue.offer(ptr.getLeftChild());
}
if (ptr.getRightChild() != null) {
queue.offer(ptr.getRightChild());
}
}
}
s形层次遍历
/**
* 二叉树的s遍历
*/
public void sOrder() {
if (root == null) {
return;
}
BtNode ptr = root;
Stack<BtNode> stack1 = new Stack<>();
Stack<BtNode> stack2 = new Stack<>();
stack1.push(ptr);
while (!stack1.isEmpty() || !stack1.isEmpty()) {
while (!stack1.isEmpty()) {
ptr = stack1.pop();
System.out.print(ptr.getDate() + " ");
if (ptr.getLeftChild() != null) {
stack2.push(ptr.getLeftChild());
}
if (ptr.getRightChild() != null) {
stack2.push(ptr.getRightChild());
}
}
while (!stack2.isEmpty()) {
ptr = stack2.pop();
System.out.print(ptr.getDate() + " ");
if (ptr.getRightChild() != null) {
stack1.push(ptr.getRightChild());
}
if (ptr.getLeftChild() != null) {
stack1.push(ptr.getLeftChild());
}
}
}
}
计算二叉树的节点个数
/**
* 获取二叉树的结点个数
*/
private int getSize(BtNode ptr) {
if (ptr == null) {
return 0;
}
return getSize(ptr.getLeftChild()) + getSize(ptr.getRightChild()) + 1;
}
public int getSize() {
return getSize(root);
}
计算二叉树的高度（深度）
/**
* 计算二叉树的高度
*/
private int getDepth(BtNode ptr) {
if (ptr == null) {
return 0;
}
return Math.max(getDepth(ptr.getLeftChild()), getDepth(ptr.getRightChild())) + 1;
}
判断二叉树是否是一颗满二叉树
/**
* 判断是否是一颗满二叉树
*/
public boolean isFullBinaryTree() {
BtNode ptr = root;
boolean tag = true;
Deque<BtNode> queue = new LinkedList<>();
int n = 1;
queue.offer(ptr);
while (!queue.isEmpty()) {
int i = 0;
for (; i < n; ++i) {
ptr = queue.poll();
if (ptr == null) {
break;
}
if (ptr.getLeftChild() != null) {
queue.offer(ptr.getLeftChild());
}
if (ptr.getRightChild() != null) {
queue.offer(ptr.getRightChild());
}
}
if (i != n) {
tag = false;
break;
}
n *= 2;
}
return tag;
}
判断二叉树是否是一颗完全二叉树
/**
* 判断是否是一个完全二叉树
*/
public boolean isComBinaryTree() {
BtNode ptr = root;
boolean tag = true;
Deque<BtNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(ptr);
while (!queue.isEmpty()) {
ptr = queue.poll();
if (ptr == null) {
break;
}
queue.offer(ptr.getLeftChild());
queue.offer(ptr.getRightChild());
}
while (!queue.isEmpty()) {
BtNode poll = queue.poll();
if (poll != null) {
tag = false;
break;
}
}
return tag;
}
利用前序遍历和中序遍历构建二叉树
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-829729.html
/**
* 根据前序遍历和中序遍历构建二叉树
*/
private BtNode createTreeByPreIn(String pre, String in, int len) {
BtNode s = null;
if (len > 0) {
s = new BtNode(pre.charAt(0));
//通过前序遍历在中序遍历中找到根节点的下标（下标为0的位置）
int pos = in.indexOf(pre.charAt(0));
//没有找到则异常退出
if (-1 == pos) {
System.exit(-1);
}
s.setLeftChild(createTreeByPreIn(pre.substring(1, pos + 1), in.substring(0, pos), pos));
s.setRightChild(createTreeByPreIn(pre.substring(pos + 1, len), in.substring(pos + 1, len), len - pos - 1));
}
return s;
}
public void createTreeByPreIn(String pre, String in) {
if (pre == null || in == null) {
root = null;
}
root = createTreeByPreIn(pre, in, pre.length());
}
利用后序遍历和中序遍历构建二叉树
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-829729.html
/**
* 根据后序遍历和中序遍历构建二叉树
*/
private BtNode createTreeByPostIn(String post, String in, int len) {
BtNode s = null;
if (len > 0) {
s = new BtNode(post.charAt(len - 1));
//通过后序遍历在中序遍历中找到根节点的下标（下标为len - 1的位置）
int pos = in.indexOf(post.charAt(len - 1));
//没有找到则异常退出
if (-1 == pos) {
System.exit(-1);
}
s.setLeftChild(createTreeByPostIn(post.substring(0, pos), in.substring(0, pos), pos));
s.setRightChild(createTreeByPostIn(post.substring(pos,len - 1),in.substring(pos + 1,len),len - pos - 1));
}
return s;
}
public void createTreeByPostIn(String post, String in) {
if (post == null || in == null) {
root = null;
}
root = createTreeByPostIn(post, in, post.length());
}
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