C代码快速傅里叶变换-分类和推理-常微分和偏微分方程

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了C代码快速傅里叶变换-分类和推理-常微分和偏微分方程。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

要点

  1. C代码例程函数计算实现:
    1. 线性代数方程解:全旋转高斯-乔丹消元,LU分解前向替换和后向替换,对角矩阵处理,任意矩阵奇异值分解,稀疏线性系统循环三对角系统解,将矩阵从完整存储模式转换为行索引稀疏存储模式,稀疏系统的共轭梯度法,范德蒙矩阵,托普利茨矩阵,QR分解。
    2. 插值和外推:多项式,有理函数,三次样条,插值多项式的系数,双三次插值。
    3. 数值积分:龙伯格积分,第二个欧拉-麦克劳林求和,高斯求积和正交多项式,高斯-埃尔米特求积,高斯-雅可比求积,一元正交多项式。
    4. 评估函数:欧拉变换,加速序列收敛,连续分数的综合除法多项式,Ridders 多项式外推法,切比雪夫多项式,切比雪夫系数多项式近似,帕德近似值,有理切比雪夫近似。
    5. 特殊函数:对数伽马函数,指数积分,使用连续分数评估计算贝塔函数,整数阶贝塞尔函数,艾里函数,球面贝塞尔函数,球谐函数,菲涅尔积分,余弦和正弦积分,道森积分,椭圆积分和雅可比椭圆函数
    6. 随机数:最高质量随机数生成,高质量哈希值生成,滞后斐波那契生成器,生成指数偏差和逻辑偏差,Box-Muller 变换(正态偏差),柯西偏差,均匀比方法,伽玛偏差,泊松偏差,二项式偏差,多元正态偏差,蒙特卡洛积分应用,索博尔序列,VEGAS算法。
    7. 非线性方程集,最小最大函数,快速傅里叶变换,统计数据描述,数据模型,分类和推理,常微分方程积分,两点边界值问题,积分方程和反演理论,偏微分方程,计算几何,算法。

C/C++代码蒙特卡洛积分示例

对于光子学、经济学、视频游戏开发和工程学等许多依赖数值的领域来说,求解复杂积分是必需的。
I = ∫ a b g ( x ) d x I=\int_a^b g(x) d x I=abg(x)dx
许多有趣的问题都无法通过分析求解积分,因此必须应用替代数值方法来找到适当的估计。 值得注意的是,通过应用数值方法(例如蒙特卡洛积分),我们并不是“求解”积分,而是对积分值进行适当的估计。 对于许多应用来说,这种差异可以忽略不计,但应牢记这种区别,特别是在考虑当前问题所需的准确度时。

“蒙特卡洛方法”的现代变体可以追溯到 20 世纪 40 年代的洛斯阿拉莫斯实验室,该实验室最初开发该方法是为了帮助模拟核裂变过程,特别是模拟裂变材料中中子的平均自由程 。 我们没有确定地解决中子的扩散路径,而是应用了统计采样方法,而且效果非常好。 从那时起,“蒙特卡罗方法”一词根据其应用领域的不同而具有广泛的含义。 然而,蒙特卡罗的所有应用都有一个共同的基本原理,即使用统计采样来解决确定性难以解决的问题。

蒙特卡罗积分器

首先,我们可以使用蒙特卡罗检查积分的期望值。 传统上,函数 g(x) 的期望值可以通过首先乘以其概率密度函数 f(x),然后在所需区域上进行积分来计算:
E [ g ( x ) ] = ∫ a b g ( x ) f ( x ) d x E[g(x)]=\int_a^b g(x) f(x) d x E[g(x)]=abg(x)f(x)dx
或者,我们可以通过对积分极限之间的均匀分布重复采样来使用蒙特卡罗近似来获得期望值。
E [ g ( x ) ] = 1 n ∑ i = 1 n f ( x i ) E[g(x)]=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) E[g(x)]=n1i=1nf(xi)
其中, x i ∈ [ a , b ] x_i \in[a, b] xi[a,b]

如前所述, x i x i xi 是从每个唯一 n = 1 , 2 , 3 n=1,2,3 n=1,2,3 等的限制 a a a b b b 之间的均匀分布中采样的值。这种方法对 f ( x ) 进行采样 f(x) 进行采样 f(x)进行采样 函数并使用大数定律来找到收敛的期望值。

乘法因子 1 / n 1 / n 1/n 有时给出为 1 / ( n − 1 ) 1 /(n-1) 1/(n1) 因为 n n n 个样本确实有 n − 1 n-1 n1 个自由度,但是当 n n n 很大时 1 / n 1 / n 1/n 1 / ( n − 1 ) 1 /(n-1) 1/(n1)​ 之间的差异可以忽略不计。给定期望值估计量的形式,扩展到积分的估计很简单。期望值公式乘以积分限制的范围,如下所示。
F = ( b − a ) 1 n ∑ i = 1 n f ( x i ) F=(b-a) \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(x_i\right) F=(ba)n1i=1nf(xi)
其中, x i ∈ [ a , b ] x_i \in[a, b] xi[a,b]

积分估计使用期望值估计器以及由积分限制确定的矩形宽度来查找积分面积/体积的近似值。我们可以用一个相对简单的例子来测试它,取积分:
∫ 1 5 x 4 e − x d x \int_1^5 x^4 e^{-x} d x 15x4exdx
我们可以编写一个简短的 C++ 程序来应用蒙特卡罗积分技术,样本大小为 n = 200。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>

double myFunction(double x);
double monteCarloEstimate(double lowBound, double upBound, int iterations);

int main()
{

	double lowerBound, upperBound;
	int iterations;

	lowerBound = 1;
	upperBound = 5;
	iterations = 200;

	double estimate = monteCarloEstimate(lowerBound, upperBound,iterations);

	printf("Estimate for %.1f -> %.1f is %.2f, (%i iterations)\n",
			lowerBound, upperBound, estimate, iterations);

	return 0;
}


double myFunction(double x)
//Function to integrate
{
	return pow(x,4)*exp(-x);
}

double monteCarloEstimate(double lowBound, double upBound, int iterations)
{

	double totalSum = 0;
	double randNum, functionVal;

	int iter = 0;

	while (iter<iterations-1)
	{

		randNum = lowBound + (float(rand())/RAND_MAX) * (upBound-lowBound);
		functionVal = myFunction(randNum);
		totalSum += functionVal;

		iter++;
	}

	double estimate = (upBound-lowBound)*totalSum/iterations;

	return estimate;
}

它应该打印一些接近于:

Estimate for 1.0 -> 5.0 is 13.28, (200 iterations)

我们必须考虑蒙特卡罗积分技术隐含的方差。蒙特卡罗积分方案的方差遵循计算某个随机变量方差的传统过程。如果我们继续前面对函数 g ( x ) g(x) g(x) 求积分的表示法,则 g ( x ) g(x) g(x) 积分期望值的方差可以给出。为了简洁起见,我将跳过蒙特卡罗积分方案固有的标准差关系的推导。如果我们继续采用对函数 g ( x ) g(x) g(x) 进行积分的表示法,并且积分的期望值为 E [ g ( x ) ] E[g(x)] E[g(x)],则标准差的关系可以给出为:
σ n = V E [ g ( x ) 2 ] − E [ g ( x ) ] 2 n − 1 \sigma_n=V \sqrt{\frac{E\left[g(x)^2\right]-E[g(x)]^2}{n-1}} σn=Vn1E[g(x)2]E[g(x)]2 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-843296.html

参阅一:计算思维
参阅二:亚图跨际

到了这里,关于C代码快速傅里叶变换-分类和推理-常微分和偏微分方程的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

原文地址:https://blog.csdn.net/jiyotin/article/details/136904627

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • matlab快速傅里叶变换

    快速傅里叶变换(FFT)是数字信号处理中常用的算法之一,可以用于信号分析、滤波、频率估计和信号生成等。在 Matlab 中,快速傅里叶变换是一个重要的工具,可以快速地计算信号的频域表示,帮助研究人员更好地理解和分析信号。本文将介绍 Matlab 中的快速傅里叶变换及其

    2024年02月09日
    浏览(8)
  • 快速傅里叶变换FFT学习笔记

    我们正常表示一个多项式的方式,形如 (A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n) ,这是正常人容易看懂的,但是,我们还有一种表示法。 我们知道, (n+1) 个点可以表示出一个 (n) 次的多项式。 于是,我们任意地取 (n+1) 个不同的值,表示 (x) ,求出的值与 (x) 对应,形成 (n+1) 个点

    2024年02月01日
    浏览(14)
  • MATLAB——FFT(快速傅里叶变换)

    基础知识 FFT即快速傅里叶变换,利用周期性和可约性,减少了DFT的运算量。常见的有按时间抽取的基2算法(DIT-FFT)按频率抽取的基2算法(DIF-FFT)。 1.利用自带函数fft进行快速傅里叶变换 若已知序列 x = [ 4 , 3 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9 , 0 ] x=[4,3,2,6,7,8,9,0] x = [ 4 , 3 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9 , 0 ]

    2024年02月03日
    浏览(29)
  • 快速傅里叶变换(FFT)算法学习

    人生如逆旅,我亦是行人。 算法的世界多么广大,我们可以将算法大致分为两类: 第一类是较为有用的算法:比如一些经典的图算法,像 DFS 和 BFS(深度 / 广度优先算法),这些算法应用在很多方面,他们非常高效, 第二类算法是那些极具美感的算法:例如当我们第一次看

    2024年02月05日
    浏览(9)
  • 快速傅里叶变换(FFT)c语言实现

    基本原理在这里就不多讲了,可以看看其他高浏览量的博文,这篇文章针对c语言的实现         我们都知道C语言本身是没有复数运算的,很多DSP、单片机要用到也没有开源库可以使用复数运算,针对FFT在硬件上运行只能手动从底层开始 定义复数类型         这里用最简单

    2023年04月15日
    浏览(8)
  • FPGA:实现快速傅里叶变换(FFT)算法

    第一次使用FPGA实现一个算法,搓手手,于是我拿出一股势在必得的心情打开了FFT的视频教程,看了好几个视频和好些篇博客,于是我迷失在数学公式推导中,在一位前辈的建议下,我开始转换我的思维, 从科研心态转变为先用起来 ,于是我关掉我的推导笔记,找了一篇叫我

    2024年02月03日
    浏览(10)
  • 快速傅里叶变换(FFT)的频谱分辨率

    2024年02月13日
    浏览(10)
  • Python中利用FFT(快速傅里叶变换)进行频谱分析

    本文将从实例的角度出发讲解fft函数的基本使用,不包含复杂的理论推导。 要对一个信号进行频谱分析,首先需要知道几个基本条件。 采样频率fs 信号长度N(信号的点数) 采样频率fs: 根据采样定理可知,采样频率应当大于等于被测信号里最高频率的2倍,才能保证不失真

    2024年01月17日
    浏览(13)
  • 通过矩阵从整体角度搞懂快速傅里叶变换原理

    f [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 g [ n ] e − i ( 2 π / N ) k n , 其中 ( 0 = n N ) f[k]=sum_{n=0}^{N-1}g[n]e^{-i(2pi/N)kn}, 其中(0=nN) f [ k ] = n = 0 ∑ N − 1 ​ g [ n ] e − i ( 2 π / N ) kn , 其中 ( 0 = n N ) g [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 f [ k ] e i ( 2 π / N ) k n , 其中 ( 0 = k N ) g[n]=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}f[k]e^{i(2pi/N)kn}, 其中

    2023年04月09日
    浏览(5)
  • 快速傅里叶变换-FFTW库的使用-参考和翻译官方文档

    Plan:为实现意外结果的最佳方法而烦恼。 [Ambrose Bierce, The Enlarged Devil’s Dictionary。] FFTW 计算大小为 N 的一维 DFT 的基本用法很简单,它通常看起来像这样的代码: 您必须将此代码与 fftw3 库链接。 在 Unix 系统上,使用 -lfftw3 -lm 链接。 示例代码首先分配输入和输出数组。 您可

    2023年04月08日
    浏览(11)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包