✨概率论期末速成(三套卷)——试卷①✨

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✨博主:命运之光
✨专栏:概率论期末速成(三套卷)

✨概率论期末速成(三套卷)——试卷①✨


前言第一次尝试打数学公式,我是用语雀记得笔记然后直接导入了CSDN但导入后格式和公式都发生了变化,之后我会直接用图片写题解这样格式不会乱,而且比打公式效率高许多。

✨✨为了让大家看的清楚,我在文章的最后附上了导入前笔记的样子,供大家参考


✨一、填空题(在下列各题填写正确答案,不填、填错,该题无分,每小题3分,共36分)

1、设 A , B , C A,B,C A,B,C为3个事件,则表示 A , B , C A,B,C A,B,C中至少两个发生的事件是____.

第一题比较简单,我们通过答案就可以理解,所以这里就不过多阐述。

解题:
A ˉ B C + A B ˉ C + A B C ˉ + A B C \={A}BC+A\={B}C+AB\={C}+ABC AˉBC+ABˉC+ABCˉ+ABC
2、设事件 A , B A,B A,B独立,且 P ( A ) = 0.4 P(A)=0.4 P(A)=0.4 P ( B ) = 0.2 P(B)=0.2 P(B)=0.2,则 P ( A ∪ B ˉ ) = P(A \cup \={B})= P(ABˉ)=____.
知识点:
P ( A ∪ B ) = { P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P ( A ) + P ( B ) if  A B = ∅ P(A \cup B)=\begin{cases} P(A)+P(B)-P(AB) \\ P(A)+P(B) &\text{if } AB=\emptyset \end{cases} P(AB)={P(A)+P(B)P(AB)P(A)+P(B)if AB=
解题:套用上面知识点

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ˉ ) − P ( A B ˉ ) = 0.4 + 0.8 − 0.4 × 0.8 = 1.2 − 0.32 = 0.88 \begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A)+P(\={B})-P(A\={B}) \\ &= 0.4+0.8-0.4×0.8 \\ &= 1.2-0.32\\ &= 0.88 \end{aligned} P(AB)=P(A)+P(Bˉ)P(ABˉ)=0.4+0.80.4×0.8=1.20.32=0.88

3、设在全部产品中有20%是废品,而合格品有85%是一级品,则任意抽出一个产品是一级品的概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

解题:
合格品: 1 − 20 % = 80 % 1-20\%=80\% 120%=80%
任取一个产品是一级品的概率为: 80 % × 85 % = 0.8 × 0.85 = 0.68 80\%×85\%=0.8×0.85=0.68 80%×85%=0.8×0.85=0.68
4、设在一次试验中,事件A发生的概率为0.6.现进行3次独立试验,则A至少发生概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

分析这题采用反证法:
A A A至少发生概率为: 1 − A 1-A 1A一次也不发生的概率。
题解:
A A A至少发生概率为: 1 − P ˉ = 1 − ( 0.4 × 0.4 × 0.4 ) = 0.936 1-\={P}=1-(0.4×0.4×0.4)=0.936 1Pˉ=1(0.4×0.4×0.4)=0.936
5、设离散型随机变量的 X X X分布函数为 F ( x ) { 0 , x < − 1 0.1 , − 1 ≤ x < 0 0.5 , 0 ≤ x < 2 F(x)\begin{cases} 0,&x<-1\\ 0.1,&-1≤x<0\\ 0.5,&0≤x<2 \end{cases} F(x) 0,0.1,0.5,x<11x00x2 P { x = 0 } = P\begin{Bmatrix}x=0 \end{Bmatrix}= P{x=0}=_____.

这题套用知识点直接解就行

知识点:
P { x = 0 } = P { X ≤ 0 } − P { x < 0 } P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\} P{x=0}=P{X0}P{x<0}
解题:套用上面知识点
P { x = 0 } = P { X ≤ 0 } − P { x < 0 } = 0.5 − 0.1 = 0.4 P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\}=0.5-0.1=0.4 P{x=0}=P{X0}P{x<0}=0.50.1=0.4
6、设随机变量X的分布函数为 F ( x ) = A + 1 π a r c t a n x F(x)=A+\frac 1 \pi arctanx F(x)=A+π1arctanx,则 A = A= A=.
知识点:
F ( + ∞ ) = 1 F(+\infty)=1 F(+)=1
F ( − ∞ ) = 0 F(-\infty)=0 F()=0
解题:套用上面知识点
KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
解得: A = 1 2 A=\frac1 2 A=21
7、设随机变量 X ∽ N ( 1 , 4 ) X\backsim N(1,4) XN(1,4),且 Φ ( 2 ) = 0.9772 \Phi(2)=0.9772 Φ(2)=0.9772,则 P { 1 ≤ x ≤ 5 } = P\{1≤x≤5\}= P{1x5}=
.
知识点:
正态分布 X ∽ N ( μ , δ 2 ) X\backsim N( \mu , \delta^2) XN(μ,δ2)
密度 P ( X ) = 1 ( 2 π δ e − ( x − μ ) 2 2 δ 2 P(X)={\frac 1 { \sqrt{\mathstrut 2\pi} \delta}}e^{\frac {-({x-\mu})^2} {2\delta^2}} P(X)=(2π δ1e2δ2(xμ)2
期望 E ( x ) = μ E(x)=\mu E(x)=μ
方差 D ( x ) = δ 2 D(x)=\delta^2 D(x)=δ2
P { a < x < b } = P { a − μ δ < x − μ δ < b − μ δ } = Φ ( b − μ δ ) − Φ ( a − μ δ ) P\{a<x<b\}=P\{\frac {a-\mu} \delta<\frac {x-\mu} \delta<\frac {b-\mu} \delta\}=\Phi(\frac {b-\mu} \delta)-\Phi(\frac {a-\mu} \delta) P{a<x<b}=P{δaμ<δxμ<δbμ}=Φ(δbμ)Φ(δaμ)
Φ ( 0 ) = 0.5 \Phi(0)=0.5 Φ(0)=0.5
解题:套用上面知识点
8.设随机变量 X ∽ P ( λ ) X\backsim P(\lambda) XP(λ),且 E [ X ( X − 2 ) ] = 6 E[X(X-2)]=6 E[X(X2)]=6,则 λ \lambda λ.
知识点:
分布律: P = { x = k } = λ 2 k ! e − λ , ( k = 0 , 1 , 2... , n ) P=\{x=k\}=\frac {\lambda^2} {k!}e^{-\lambda},(k=0,1,2...,n) P={x=k}=k!λ2eλ(k=0,1,2...,n)
E ( x ) = D ( x ) = λ E(x)=D(x)=\lambda E(x)=D(x)=λ
E ( x 2 ) = D ( x ) + E 2 ( x ) = λ + λ 2 E(x^2)=D(x)+E^2(x)=\lambda+\lambda^2 E(x2)=D(x)+E2(x)=λ+λ2
解题:套用上面知识点

KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

解得: λ = 3 \lambda=3 λ=3
9、设二维随机变量 ( X , Y ) ∽ N ( − 1 , 0 , 4 , 9 , 0.2 ) (X,Y)\backsim N(-1,0,4,9,0.2) (X,Y)N(1,0,4,9,0.2),则 c o v ( X , Y ) = cov(X,Y)= cov(X,Y)=
.
知识点:
二维正态分布 ( X , Y ) ∽ N ( μ 1 , μ 2 , δ 1 2 , δ 2 2 , p ) (X,Y)\backsim N(\mu_1,\mu_2,\delta^2_1,\delta^2_2,p) (X,Y)N(μ1μ2δ12δ22p)
其中
μ 1 = E ( X ) μ 2 = E ( Y ) δ 1 2 = D ( X ) δ 2 2 = D ( Y ) P = P X Y \begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned} μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY
c o v ( X , Y ) = ( ( D ( X ) × ( D ( Y ) ) × P cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P cov(X,Y)=((D(X) ×(D(Y) )×P
X ∽ N ( μ , δ 1 2 ) , Y ∽ N ( μ , δ 2 2 ) X\backsim N(\mu,\delta^2_1),Y\backsim N(\mu,\delta^2_2) XN(μ,δ12)YN(μ,δ22)
解题:套用上面知识点
c o v ( X , Y ) = ( ( D ( X ) × ( D ( Y ) ) × P = 2 × 3 × 0.2 = 1.2 cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P=2×3×0.2=1.2 cov(X,Y)=((D(X) ×(D(Y) )×P=2×3×0.2=1.2
10.设 X ∽ U ( 0 , 2 ) , Y ∽ E x p ( 1 ) X\backsim U(0,2),Y\backsim E_{xp}(1) XU(02)YExp(1),且 X X X Y Y Y相互独立,则 D ( 2 X − 3 Y + 4 ) = D(2X-3Y+4)= D(2X3Y+4)=_____.
知识点:
均匀分布 X ∽ U ( a , b ) X \backsim U(a,b) XU(ab)
密度 p ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , 其他 p(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a},&a<x<b \\0,&其他 \end{cases} p(x)={ba1,0,a<x<b其他
方差 D ( x ) = ( b − a ) 2 12 D(x)=\frac {(b-a)^2} {12} D(x)=12(ba)2
期望 E ( x ) = a + b 2 E(x)=\frac {a+b} 2 E(x)=2a+b


指数分布 X ∽ E x p ( λ ) X\backsim E_{xp}(\lambda) XExp(λ)
密度 P ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , 其他 P(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a},&a<x<b\\ 0,&其他 \end{cases} P(x)={ba10,a<x<b其他
方差 D ( x ) = 1 λ 2 D(x)=\frac 1 {\lambda^2} D(x)=λ21
期望 E ( x ) = 1 λ E(x)=\frac 1 \lambda E(x)=λ1
解题:套用上面知识点
μ 1 = E ( X ) μ 2 = E ( Y ) δ 1 2 = D ( X ) δ 2 2 = D ( Y ) P = P X Y \begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned} μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY
11.设 X 1 , X 2 , X 3 X_1,X_2,X_3 X1,X2,X3是来自总体 X X X的样本,且 E ( X ) = μ , μ ˆ = 1 4 X 1 + k X 2 + 1 8 X 3 E(X)=\mu,\^{\mu }=\frac 1 4X_1+kX_2+\frac 1 8 X_3 E(X)=μ,μˆ=41X1+kX2+81X3 μ \mu μ的无偏估计,则 k = k= k=.
解题:这题不懂得直接记着就行,题一变就变了比较麻烦
k = 1 − 1 4 − 1 8 = 5 8 k=1-\frac1 4-\frac1 8=\frac5 8 k=14181=85
12.设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 X_1,X_2,X_3,X_4 X1,X2,X3,X4是总体 X ∽ N ( 0 , 2 ) X \backsim N(0,2) XN(02)的随机样本, Y = X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 C X 4 2 ∽ F ( 3 , 1 ) Y=\frac{{X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2} {{CX_4}^2}\backsim F(3,1) Y=CX42X12+X22+X32F(3,1),则 C = C= C=
.
解题:这题不懂得直接记着就行,题一变就变了比较麻烦,反正我问的人都已经选择放弃这一题了/(ㄒoㄒ)/~~所以没有人给我讲这道题。。。。。。
答案:3


✨二、计算题(本大题6小题,每小题9分,共54分)。

X X X -2 -1 0 1 2
P P P 2a a 1/8 a/2 5a
  1. 试求(1) a a a;(2)概率 P { − 1 < X < 2 } P\{-1<X<2\} P{1<X<2};(3) Y = 2 X 2 + 1 Y=2X^2+1 Y=2X2+1的分布律.

解题:
(1)
因为 2 a + a + 1 8 + a 2 + 5 = 1 2a+a+\frac 1 8+\frac a 2+5=1 2a+a+81+2a+5=1,故 a = 7 68 a=\frac7 {68} a=687
(2)

P { − 1 < X < 2 } = P { X = 0 } + P { X = 1 } = 1 8 + 7 136 = 3 17 \begin{aligned} P\{-1<X<2\}&=P\{X=0\}+P\{X=1\} \\&=\frac 1 8+\frac7 {136} \\&=\frac 3 {17} \end{aligned} P{1<X<2}=P{X=0}+P{X=1}=81+1367=173
(3)
Y = 2 X 2 + 1 Y=2X^2+1 Y=2X2+1取值为1,3,9

Y Y Y 1 3 9
P P P 1 8 \frac 1 8 81 21 136 \frac {21} {136} 13621 49 68 \frac{49}{68} 6849

14、已知随机变量的 X X X密度函数为: p ( x ) = { 2 x 2 + a , 0 < x < 1 0 , 其他 p(x)=\begin{cases} 2x^2+a,&0<x<1\\ 0,&其他 \end{cases} p(x)={2x2+a,0,0<x<1其他试求(1)常数 a a a;(2) E ( 2 X + 1 ) E(2X+1) E(2X+1);(3) X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x).
解题:
(1)
因为 ∫ 0 1 ( 2 x 2 + a ) d x = 2 3 + a = 1 \int_0^1(2x^2+a)dx=\frac 2 3+a=1 01(2x2+a)dx=32+a=1
a = 1 3 a=\frac 1 3 a=31
(2)
E ( 2 x + 1 ) = ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) ( 2 x 2 + 1 3 ) d x = 7 3 \begin{aligned} E(2x+1)&=\int_0^1(2x+1)(2x^2+\frac1 3)dx \\&=\frac 7 3 \end{aligned} E(2x+1)=01(2x+1)(2x2+31)dx=37
(3) X X X的分布函数
F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( x ) d x = { 0 , x ≤ 0 ; 2 3 x 2 + 1 3 x , 0 ≤ x < 1 ; 1 , x ≥ 1 F(x)=\int_{-\infty}^xp(x)dx=\begin{cases} 0,&x≤0;\\ \frac 2 3x^2+\frac 1 3x,&0≤x<1;\\ 1,&x≥1 \end{cases} F(x)=xp(x)dx= 0,32x2+31x,1,x0;0x1;x1
15.设连续型随机变量 X X X的密度函数为: P x ( x ) = { 2 π ( 1 + x 2 ) , x > 0 0 , x < 0 P_x(x)=\begin{cases} \frac 2 {\pi(1+x^2)},&x>0\\ 0,&x<0 \end{cases} Px(x)={π(1+x2)2,0,x>0x<0求:(1)求概率 P { X 2 ≤ 3 } P\{X^2≤3\} P{X23};(2) Y = ln ⁡ X Y=\ln X Y=lnX的密度函数 p Y ( y ) p_Y(y) pY(y).
解题:
(1)
P { X 2 ≤ 3 } = P { − ( 3 ≤ X ≤ ( 3 } = ∫ − ( 3 0 0 d x + ∫ 0 ( 3 2 π ( 1 + x 2 ) d x = 2 π arctan ⁡ ∣ 0 ( 3 = 2 3 \begin{aligned} P\{X^2≤3\}&=P\{-\sqrt{\mathstrut 3}≤X≤\sqrt{\mathstrut 3}\} \\&=\int_{-\sqrt{\mathstrut 3}}^00dx+\int_0^{\sqrt{\mathstrut 3}}\frac 2 {\pi(1+x^2)}dx \\&=\frac 2 \pi \arctan|_0^{\sqrt{\mathstrut 3}} \\&=\frac 2 3 \end{aligned} P{X23}=P{(3 X(3 }=(3 00dx+0(3 π(1+x2)2dx=π2arctan0(3 =32
(2)
y = ln ⁡ x y=\ln x y=lnx 0 < x < + ∞ 0<x<+\infty 0<x<+的反函数 x = e y x=e^y x=ey − ∞ < y < + ∞ -\infty<y<+\infty <y<+
x 、 = e y x^、=e^y x=ey
Y = ln ⁡ X Y=\ln X Y=lnX的密度函数 P Y ( y ) = 2 e y π ( 1 + e 2 y ) , − ∞ < y < + ∞ P_Y(y)=\frac {2e^y} {\pi(1+e^{2y})},-\infty<y<+\infty PY(y)=π(1+e2y)2ey,<y<+
16.设二维随变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的密度函数为 p ( x , y ) = { 1 8 ( 6 − x − y ) 0 < x < 2 , 2 < y < 4 0 其他 p(x,y)=\begin{cases} \frac 1 8(6-x-y)&0<x<2,2<y<4 \\0&其他 \end{cases} p(x,y)={81(6xy)00<x<2,2<y<4其他求(1)边缘密度函数 p X ( x ) p_X(x) pX(x);(2) p ( X + Y ≤ 4 ) p(X+Y≤4) p(X+Y4).
解题:
(1)边缘密度函数
p X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ p ( x , y ) d y = { ∫ 2 4 1 8 ( 6 − x − y ) d y , 0 < x < 2 ′ 0 , 其他, = { 1 4 ( 3 − x ) , 0 < x < 2 ; 0 , 其他, \begin{aligned} p_X(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dy \\&=\begin{cases}\int_2^4\frac1 8(6-x-y)dy,&0<x<2'\\0,&其他, \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac 14 (3-x),&0<x<2;\\ 0,&其他, \end{cases} \end{aligned} pX(x)=+p(x,y)dy={2481(6xy)dy,0,0<x<2其他,={41(3x),0,0<x<2;其他,
(2)
p { X + Y ≤ 4 } = ∬ x + y ≤ 4 p ( x , y ) d x d y = ∫ 2 4 d y ∫ 0 4 − y 1 8 ( 6 − x − y ) d x = 2 3 \begin{aligned} p\{X+Y≤4\}&=\small\iint_{\mathclap{x+y≤4}}p(x,y)dxdy\\&=\int_2^4dy\int_0^{4-y}\frac1 8(6-x-y)dx \\&=\frac2 3 \end{aligned} p{X+Y4}=x+y4p(x,y)dxdy=24dy04y81(6xy)dx=32
17.设随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布律为
Y / X 1 2 3 0 0.2 0.1 0.1 − 1 0.15 0.2 0.25 \begin{array}{c|lcr} Y/X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline 0 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\ -1 & 0.15 & 0.2 & 0.25 \\ \end{array} Y/X0110.20.1520.10.230.10.25(1)求 X X X Y Y Y的边缘分布律,并判断 X X X Y Y Y的独立性;(2)求 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的分布律.
解题:
(1)
X X X的边缘分布律
X 1 2 3 P 0.35 0.3 0.35 \begin{array}{c|lcr} X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline P & 0.35 & 0.3 & 0.35 \\ \end{array} XP10.3520.330.35
Y Y Y的边缘分布律
Y 0 -1 P 0.4 0.6 \begin{array}{c|lcr} Y & \text{0} & \text{-1} \\ \hline P & 0.4 & 0.6\\ \end{array} YP00.4-10.6
因为 P { X = 1 , Y = 0 } = 0.2 ≠ P { X = 1 } P { Y = 0 } = 0.35 × 0.4 = 0.14 P\{X=1,Y=0\}=0.2≠P\{X=1\}P\{Y=0\}=0.35×0.4=0.14 P{X=1,Y=0}=0.2=P{X=1}P{Y=0}=0.35×0.4=0.14
X X X Y Y Y不独立
(2) Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y的取值为0、1、2、3,其分布律
X 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 0.1 \begin{array}{c|lcr} X & \text{0} & \text{1} &\text{2}& \text{3} \\ \hline P & 0.15 & 0.4 & 0.35 & 0.1\\ \end{array} XP00.1510.420.3530.1
18.设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn是取自总体 X X X的简单随机样本,且总体 X X X的密度函数为: p ( x ) = { θ x θ − 1 , 0 < x < 1 , 0 , 其他 p(x)=\begin{cases} \theta x^{\theta -1},&0<x<1,\\ 0,&其他 \end{cases} p(x)={θxθ1,0,0<x<1,其他其中 θ > 0 \theta>0 θ>0未知,求(1) θ \theta θ的矩估计量;(2) θ \theta θ的极大似然估计量.
解题:
(1)
a 1 = E X = ∫ 0 1 x p ( x ) d x = ∫ 0 1 θ x θ d x = θ 1 + θ \begin{aligned} a_1=EX&=\int_0^1xp(x)dx\\&=\int_0^1\theta x^\theta dx \\&=\frac \theta {1+\theta} \end{aligned} a1=EX=01xp(x)dx=01θxθdx=1+θθ
θ = a 1 1 − a 1 \theta = \frac {a_1} {1-a_1} θ=1a1a1
θ \theta θ的矩估计量 θ ^ = X ˉ 1 − X ˉ \hat{\theta}=\frac {\=X} {1-\=X} θ^=1XˉXˉ.
(2)

后面都用照片来写/(ㄒoㄒ)/~~,打公式太慢了~

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✨三、应用题(10分)

19、设甲乙两袋,甲袋中有 n n n只白球, m m m只红球,乙袋中有 N N N只白球, M M M只红球,今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球,(1)从乙袋取到白球的概率:(2)现发现从乙袋取到的球为红球,问从甲袋取的球放入乙袋也是红球的概率是多少?
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✨附上原笔记图片(祝大家考试顺利)

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    2024年03月22日
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  • 概率论:样本与总体分布,Z分数与概率

    参考书目:《行为科学统计精要》(第八版)——弗雷德里克·J·格雷维特 描述一组数据分布   描述一组样本数据的分布 描述样本数据的均值和整体数据一样,但是样本标准差的公式除以了n-1,这里引入自由度的概念 自由度:如果均值确定,那么n个数据组成的样本中,只有

    2024年02月07日
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  • 概率论--随机事件与概率--贝叶斯公式--随机变量

    目录 随机事件与概率 概念 为什么要学习概率论 随机事件与随机事件概率 随机事件 随机事件概率 贝叶斯公式  概念 条件概率 概率乘法公式 贝叶斯公式  举个栗子 随机变量   随机变量的定义 随机变量的分类 离散型随机变量 连续型随机变量 概念 随机事件是指在一次试验

    2024年02月11日
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  • 概率论发展简史

            概率论这门学科可以说起源于赌博。在古希腊和古罗马时期,机会主义十分盛行.但是这个时期关于游戏的理论还没有发展起来.究其原因,那时候希腊的数字系统不能提供代数运算发展的机会.在科学分析基础上的概率论一直等到印度和阿拉伯发明了现代算术系统(

    2024年02月07日
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  • Python概率论

    概率论是数学的一个分支,它研究随机事件的概率和统计规律。在Python中,有很多强大的概率统计库可以帮助我们进行概率计算和数据分析,比如NumPy、SciPy和Pandas等库。下面我将为您介绍一些基本的概率概念以及如何在Python中实现它们。 在概率论中,我们通常会用以下的符

    2024年02月05日
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  • 概率论复习

    速成网课:【概率论与数理统计】3小时不挂|概率统计|概统_哔哩哔哩_bilibili 1、有放回抽取中出现了组合数C(n,k),表示在抽n件产品中选择了k次取次品,而在无放回抽取中又没有出现组合数C(n,k) 传送门:概率问题:关于有放回和无放回抽取的一个问题 - 知乎 简要阐述一下:有

    2024年02月16日
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  • 【概率论】大数定律

    概要:首先介绍了切比雪夫不等式,然后介绍大数定律概念和3种大数定律及证明。 切比雪夫不等式 已知随机变量X的期望EX和方差DX,对 ,可得 的一个上界。 解释: 不论X服从什么分布,X在E(x)的 ε 邻域内取值的概率不小于 1- D x ε2 。 证明: 本质: 随机变量X偏离E(X)越大,则

    2024年02月04日
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  • 高等数学:概率论(二)

    设随机实验E的样本空间为 Ω Omega Ω ,X为定义于样本空间 Ω Omega Ω 上的函数,对任意的 w ∈ Ω win Omega w ∈ Ω ,总存在唯一确定的的 X ( w ) X(w) X ( w ) 与之对应,称 X ( w ) X(w) X ( w ) 为随机变量。 随机变量的分布函数 设 X 为随机变量, 对任意的实数 x, 称函数 F ( x ) = P { X ⩽

    2024年02月09日
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  • 概率论基础

    二维随机变量 二维随机变量是指一个随机实验产生的结果可以用一个有序对来描述的随机变量。它在数学上表示为(X, Y),其中X和Y是两个单独的随机变量。 二维随机变量的取值可以是有限的、可数的或者连续的,取决于具体的情况。对于有限或可数的二维随机变量,可以通过

    2024年02月03日
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