一、简介
RSA公开密钥密码体制是一种使用不同的加密密钥与解密密钥，“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。
在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK。
二、缺点
- 运算速度慢。一般只用于少量数据加密。RSA的速度比对应同样安全级别的对称密码算法要慢1000倍左右。
- 小指数攻击。
当公钥e取较小的值，虽然会使加密变得易于实现，速度有所提高，但这样做也是不安全的。最简单的办法就是e和d都取较大的值。
因为密钥的产生受素数产生技术的限制，所以也有它的局限性。
（1）密钥的产生受素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；
（2）分组长度太大，为保证安全性，n至少也要600比特以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，比对称密码算法慢几个数量级；随着大整数素因数分解算法的改进和计算机计算能力的提高，对n的长度在不断增加，不利于实现数据格式的标准化。
三、数论基础
1. 素数
素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
2. 模运算
模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。
两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b \ (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 \ (mod 12)。
3. 互质关系
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。
关于互质关系，不难得到以下结论：
- 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
- 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
- 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
- 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
- p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
- p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
4. 欧拉函数
请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n)的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
φ
(
p
k
)
=
p
k
−
p
(
k
−
1
)
φ(p^k) = p^k - p^(k-1)
φ(pk)=pk−p(k−1)
比如
φ
(
8
)
=
φ
(
2
3
)
=
2
3
−
2
2
=
8
−
4
=
4
φ(8) = φ(2^3) = 2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4
φ(8)=φ(23)=23−22=8−4=4。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：
φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k(1- \frac {1}{p})
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积，
n
=
p
1
×
p
2
n = p_1 × p_2
n=p1×p2
则
φ
(
n
)
=
φ
(
p
1
p
2
)
=
φ
(
p
1
)
φ
(
p
2
)
φ(n) = φ(p_1p_2) = φ(p_1)φ(p_2)
φ(n)=φ(p1p2)=φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，
φ
(
56
)
=
φ
(
8
×
7
)
=
φ
(
8
)
×
φ
(
7
)
=
4
×
6
=
24
。
φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到“中国剩余定理”，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a < p1)，b与p2互质(b < p2)，c与p1p2互质(c < p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
n
=
p
1
k
1
p
2
k
2
…
p
r
k
r
n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_r^{k_r}
n=p1k1p2k2…prkr
根据第4条的结论，得到
φ ( n ) = φ ( p 1 k 1 ) φ ( p 2 k 2 ) … φ ( p r k r ) φ(n) = φ(p_1^{k_1}) φ(p_2^{k_2}) \dots φ(p_r^{k_r}) φ(n)=φ(p1k1)φ(p2k2)…φ(prkr)
再根据第3条的结论，得到
φ
(
n
)
=
p
1
k
1
p
2
k
2
…
p
r
k
r
(
1
−
1
p
1
)
(
1
−
1
p
2
)
…
(
1
−
1
p
r
)
φ(n) = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_r^{k_r} (1- \frac {1}{p_1})(1- \frac {1}{p_2}) \dots (1- \frac {1}{p_r})
φ(n)=p1k1p2k2…prkr(1−p11)(1−p21)…(1−pr1)
也就等于
φ
(
n
)
=
n
(
1
−
1
p
1
)
(
1
−
1
p
2
)
…
(
1
−
1
p
r
)
φ(n) = n(1- \frac {1}{p_1})(1- \frac {1}{p_2}) \dots (1- \frac {1}{p_r})
φ(n)=n(1−p11)(1−p21)…(1−pr1)
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
φ
(
1323
)
=
φ
(
3
3
∗
7
2
)
=
1323
(
1
−
1
3
)
(
1
−
1
7
)
=
756
φ(1323) = φ(3^3 * 7^2) = 1323(1- \frac {1}{3})(1- \frac {1}{7}) = 756
φ(1323)=φ(33∗72)=1323(1−31)(1−71)=756
5. 欧拉定理
欧拉函数的用处，在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是：
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:
a
ϕ
(
n
)
≡
1
(
m
o
d
n
)
a^{\phi(n)} \equiv 1(mod \quad n)
aϕ(n)≡1(modn)
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。
欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。
欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，
7
ϕ
(
10
)
≡
1
(
m
o
d
10
)
7^{\phi(10)} \equiv 1(mod \quad 10)
7ϕ(10)≡1(mod10)
已知 φ(10) 等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。
7
4
k
≡
1
(
m
o
d
10
)
7^{4k} \equiv 1(mod \quad 10)
74k≡1(mod10)
因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。
欧拉定理有一个特殊情况。
假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ§等于p-1，则欧拉定理可以写成
7
p
−
1
≡
1
(
m
o
d
p
)
7^{p-1} \equiv 1(mod \quad p)
7p−1≡1(modp)
这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。
欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。
6. 模反元素
还剩下最后一个概念：
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
a
b
≡
1
(
m
o
d
n
)
ab \equiv 1(mod \quad n)
ab≡1(modn)
这时，b就叫做a的“模反元素”。
比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。
欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。
a
ϕ
(
n
)
=
a
∗
a
ϕ
(
n
)
−
1
≡
1
(
m
o
d
n
)
a^{\phi(n)} = a * a^{\phi(n) - 1} \equiv 1(mod \quad n)
aϕ(n)=a∗aϕ(n)−1≡1(modn)
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
四、RSA密钥生成步骤
假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？
1. 随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
2. 计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
3. 计算n的欧拉函数φ(n)。
n是质数，则 φ(n)=n-1
n = p1 × p2
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
=> φ(n) = (p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。
4. 随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
5. 计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓”模反元素”就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
ed - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。(-k = y)
ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120，
17x + 3120y = 1
这个方程可以用“扩展欧几里得算法”(又叫辗转相除法)求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有计算完成。
6. 将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达。
五、RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：
p
q
n
φ(n)
e
d
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
“对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”
举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
12301866845301177551304949 58384962720772853569595334 79219732245215172640050726 36575187452021997864693899 56474942774063845925192557 32630345373154826850791702 61221429134616704292143116 02221240479274737794080665 351419597459856902143413
它等于这样两个质数的乘积：
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
六、RSA算法的加密和解密
1. 公钥（n,e）加密
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓”加密”，就是算出下式的c：
me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
65^17 ≡ 2790 (mod 3233)
于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
2. 私钥(n,d)解密
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
cd ≡ m (mod n)
也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出
2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)
因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，”加密–解密”的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种”对称性加密算法”（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。
3. 私钥解密证明
证明用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
c
d
≡
m
(
m
o
d
n
)
c^d \equiv m(mod \quad n)
cd≡m(modn)
因为，根据加密规则
m
e
≡
c
(
m
o
d
n
)
m^e \equiv c(mod \quad n)
me≡c(modn)
于是，c可以写成下面的形式：
c
+
k
n
+
R
e
m
a
i
n
d
e
r
=
m
e
+
R
e
m
a
i
n
d
e
r
c
=
m
e
−
k
n
c +kn + Remainder = m^e + Remainder \\ c = m^e -kn
c+kn+Remainder=me+Remainderc=me−kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
(
m
e
−
k
n
)
d
≡
m
(
m
o
d
n
)
(m^e - kn)^d \equiv m (mod \quad n)
(me−kn)d≡m(modn)
观察可知，等式左边的多项式拆开以后，只要是有kn的项都能被n整除，所以可以去掉所有含有kn的项，即等同于求证
m
e
d
≡
m
(
m
o
d
n
)
m^ed \equiv m (mod \quad n)
med≡m(modn)
由于
e
d
≡
1
(
m
o
d
ϕ
(
n
)
)
ed \equiv 1(mod \quad \phi(n))
ed≡1(modϕ(n))
所以
e
d
=
h
ϕ
(
n
)
+
1
ed = h\phi(n) + 1
ed=hϕ(n)+1
将ed代入：
m
h
ϕ
(
n
)
+
1
≡
m
(
m
o
d
n
)
m^{h\phi(n) + 1} \equiv m (mod \quad n)
mhϕ(n)+1≡m(modn)
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
m与n互质
根据欧拉定理，此时
m
ϕ
(
n
)
≡
1
(
m
o
d
n
)
m
ϕ
(
n
)
=
k
n
+
1
(
m
ϕ
(
n
)
)
h
=
(
k
n
+
1
)
h
m^{\phi(n)} \equiv 1 (mod \quad n) \\ m^{\phi(n)} = kn + 1 \\ (m^{\phi(n)})^h = (kn + 1)^h
mϕ(n)≡1(modn)mϕ(n)=kn+1(mϕ(n))h=(kn+1)h
由展开相可知，右侧式子除以n余数同样位1，所以可得
(
m
ϕ
(
n
)
)
h
≡
1
(
m
o
d
n
)
(m^{\phi(n)})^h \equiv 1 (mod \quad n)
(mϕ(n))h≡1(modn)
根据加密规则我们有m < n，所以给等式同时乘m，得到
(
m
ϕ
(
n
)
)
h
∗
m
≡
m
(
m
o
d
n
)
=
>
m
h
ϕ
(
n
)
+
1
≡
m
(
m
o
d
n
)
(m^{\phi(n)})^h * m \equiv m (mod \quad n) => m^{h\phi(n) + 1} \equiv m (mod \quad n)
(mϕ(n))h∗m≡m(modn)=>mhϕ(n)+1≡m(modn)
原式得到证明。
m与n不是互质关系
当m与n不互质时(m < n)，由于n=p * q, 那么 gcd(m,n) = p 或者 gcd(m,n)=q，跟假设的一样
假设 m = k_1 * p 且 已知 m < n
此时，m必然与q互质.
(1)根据费马小定理，当m与q互质时，我们可以得到
m ϕ ( q ) ≡ 1 ( m o d q ) m q − 1 m o d q = 1 m^{\phi(q)} \equiv 1 (mod \quad q) \\ m^{q-1} \quad mod \quad q = 1 mϕ(q)≡1(modq)mq−1modq=1
(2)类似之前的式子，我们可以推导出
( m q − 1 ) h ( p − 1 ) m o d q = 1 (m^{q-1})^{h(p-1)} \quad mod \quad q = 1 (mq−1)h(p−1)modq=1
(3)根据之前的式子我们可以进行如下推倒
(
p
−
1
)
(
q
−
1
)
=
ϕ
(
n
)
e
d
=
h
ϕ
(
n
)
+
1
=
>
m
e
d
−
1
m
o
d
q
=
1
(p-1)(q-1) = \phi(n) \\ ed = h \phi(n) + 1 \\ => m^{ed-1} \quad mod \quad q = 1
(p−1)(q−1)=ϕ(n)ed=hϕ(n)+1=>med−1modq=1
(4)改写这个等式到
m
e
d
−
1
=
k
3
q
+
1
m^{ed-1} = k_3 q + 1
med−1=k3q+1
两边乘上 m,得到
m
e
d
=
k
3
q
m
+
m
m^{ed} = k_3 qm + m
med=k3qm+m
(5)最后一步
我们之前假设
m
=
k
1
∗
p
m = k_1 * p
m=k1∗p
所以，得到
m
e
d
=
k
3
q
k
1
p
+
m
m
e
d
=
k
1
k
3
∗
(
p
q
)
+
m
m^{ed} = k_3qk_1p + m \\ m^{ed} = k_1k_3 * (pq) + m
med=k3qk1p+mmed=k1k3∗(pq)+m
因为
n
=
p
q
n = pq
n=pq
所以
m
e
d
=
k
1
k
3
∗
n
+
m
m^{ed} = k_1k_3 * n + m
med=k1k3∗n+m
也就是
m
e
d
≡
m
(
m
o
d
n
)
m^{ed} \equiv m(mod \quad n)
med≡m(modn)
原式得证！
七、使用示例
取质数13和7.它们的结果给我们的最大值为91.我们取5为公钥。然后用我们已知的事实7和13是91的因子并且运用拓展欧几里得算法（辗转相除法），我们得到私钥是29。
这些参数 (max:91,pub:5,priv:29) 定义一个充分实用型RSA系统。你能取一个数字并且用它乘以它自己5次来加密它，然后取那个数字并且用它乘以它自己29次然后你得回了原来的数字。所以公钥就是 (91, 5)，私钥就是（91, 29）。
用这些标准来加密信息“CLOUD”。
为了用数字表示这个信息，我们要把字母转换成数字。拉丁字母表的通常代表是UTF-8.每个字母相当于一个数字。
在这次编码下，CLOUD是67,76,79,85,68。每个这些数字小于我们的最大值91，所以我们可以单独地加密它们。让我们开始第一个字母。
m
s
g
p
u
b
≡
c
(
m
o
d
m
a
x
)
6
7
5
≡
c
(
m
o
d
91
)
c
=
6
7
5
m
o
d
91
c
=
58
msg^{pub} \equiv c(mod \quad max) \\ 67^5 \equiv c(mod \quad 91) \\ c = 67^5 \quad mod \quad 91 \\ c = 58
msgpub≡c(modmax)675≡c(mod91)c=675mod91c=58
这意味着67（或C）的加密值是58.
对每个字母重复这个过程，我们得到加密信息CLOUD变成：58,20,53,50,87
根据公式解密
c
p
r
i
v
≡
m
s
g
(
m
o
d
m
a
x
)
5
8
29
≡
m
s
g
(
m
o
d
91
)
m
s
g
=
5
8
29
m
o
d
91
m
s
g
=
67
c^{priv} \equiv msg(mod \quad max) \\ 58^{29} \equiv msg(mod \quad 91) \\ msg = 58^{29} \quad mod \quad 91 \\ msg = 67
cpriv≡msg(modmax)5829≡msg(mod91)msg=5829mod91msg=67文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-480547.html
参考文档：
RSA算法原理文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-480547.html
到了这里，关于RSA算法基础原理的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
