线代第六章 二次型 复习笔记

一、概念、定理

二次型是一个多元函数 f (x1,x2,…,xn)，每一项都是二次的，未知数的个数为任意个。

二次型可以写成矩阵形式（三个矩阵相乘）：

f (x1,x2,…,xn)

中间的矩阵A是对称矩阵，A称为二次型f 的对应矩阵。

矩阵A的秩称为二次型的秩。r(f)=r(A)

已知二次型，怎么写出二次型的对应矩阵A？

步骤

1、二次型f 的平方项系数，按顺序写在A的主对角线上

2、二次型f 的混合项系数，除以2后写在相应位置上（例如混合项系数2x1x2的系数2除以2=1，写在a12和a21处）

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给定一个二次型，可以写出对称矩阵A；给定一个对称矩阵A，可以写出一个二次型。

二次型f 和对称矩阵A是一一对应的，一个二次型f 对应唯一一个对称矩阵A。

二、标准形、正交变换法、配方法

1、标准形（/平方和）：

若二次型只有平方项，没有混合项（混合项系数全为0）

标准形 ↔ 二次型矩阵A是对角矩阵（充要条件）

2、二次型的规范形：

二次型的平方项系数只有-1、1、0

二次型的标准形不是唯一的，规范形是唯一的。

3、正负惯性指数，是对于标准形来说的：

二次型的标准形中，正平方项的个数——正惯性指数p，负平方项的个数——负惯性指数q

4、合同

A、B是n阶矩阵，若存在可逆矩阵C使得C^TAC=B，则称A合同于B，

矩阵合同的性质（和相似差不多）

  矩阵合同的性质（和相似差不多：反身性、对称性、传递性

★若矩阵A合同于B，则A、B对应二次型的正/负惯性指数相等。

题型：与已知矩阵A合同得矩阵是，四选一

原理：A合同于B ↔ A、B对应二次型的 正/负惯性指数相等

5、坐标变换，用矩阵描述就是x=Cy（必须满足|C|≠0，即C为可逆矩阵）

以x为自变量的二次型x^TAx (对应矩阵为A)，经坐标变换x=Cy后，成为以y为自变量的二次型y^TBy (对应矩阵为B=C^TAC)

经坐标变换x=Cy后，新的二次型矩阵B和原来的矩阵A合同，C^TAC=B。

例子： 

1）正交变换

对任一个二次型f (x1,x2,…,xn)=x^TAx，必可通过正交变换x=Qy，化成标准形。

★其中Q是正交矩阵，由矩阵A的n个正交的单位特征向量构成。

正交矩阵的性质：Q^T=Q^(-1)

原因Q^TQ=QQ^T=E且Q^(-1)Q=QQ^(-1)=E

以x为自变量的二次型x^TAx (对应矩阵为A)，经正交变换x=Qy后，成为以y为自变量的二次型y^TBy (对应矩阵为B=Q^TAQ=Λ)

经正交变换x=Qy后，新的二次型矩阵B是对角矩阵，主对角线上元素为n个特征值（与Q中特征向量的顺序要对应）

正交变换法只能化二次型为标准形，平方项的系数即为特征值。

★★★常考题型：用正交变换化二次型为标准形，并写出所用坐标变换

步骤

1、写出二次型矩阵A

2、求特征值→由特征方程 |λE-A|=0解出

3、求特征向量→齐次方程组 (λE-A)x=0的非零解

4、改造特征向量为γ1,γ2,γ3

     ①如果特征值不同，则有n个特征向量已经正交，只需要单位化

     ②如果特征值有重根，要先判断特征向量是否已经正交？

     若已正交只需单位化，否则施密特正交化（P239先正交再单位化）

5、构造正交矩阵Q=(γ1,γ2,γ3)，

     则经正交变换x=Qy，有

把二次型化为规范形(平方项系数只有-1,1,0)，需要通过两次坐标变换。

2）配方法

对任一个二次型f (x1,x2,…,xn)=x^TAx，必可通过（配方法）可逆线性变换x=Cy，化成标准形。

★其中C是可逆矩阵，|C|≠0

 （注意这里的平方项系数d1、d2…与特征值无关）（新的二次型矩阵B=C^TAC与原矩阵A合同）

配方法化二次型标准形

步骤

1、先配x1

2、再配x2

3、……

4、等全部配好了，再反过来写坐标变化。反解一下x等于多少y。

题型：给出带参数的二次型，给出正交变换后的标准形，求参数。

原理： 1、正交变换后的标准形，平方项系数为 二次型矩阵A的特征值。

2、|A|=特征值的乘积λ1λ2λ3。

步骤：写出二次型矩阵A，求|A|的值，即可求出参数a。

题型：给出带参数的二次型，给出二次型的秩，求参数。求二次型的正、负惯性指数。

原理：1、二次型的秩=二次型矩阵A的秩 r(f)=r(A)

2、正交变换后的标准形，平方项系数为 二次型矩阵A的特征值。

步骤：1、化矩阵A为行最简矩阵，求出参数

2、由特征方程 |λE-A|=0 解出特征值→得到正、负惯性指数

题型：给出正交变换后的标准形，给出正交矩阵Q的第一列，求Q。

原理：1、实对称矩阵A不同特征值的特征向量相互正交

步骤：1、设λ=3的特征向量为α2=(x1,x2)^T，内积(α1,α2)=0解得α2。

2、将α2单位化得γ2，Q=(γ1,γ2)。

惯性定理

二次型经过坐标变换（化成标准形）不改变其正负惯性指数。

正定二次型

若对任意非零列向量x=(x1,x2,x3……)^T，恒有二次型 f(x1,x2,x3……)=x^TAx＞0。

称二次型为正定二次型，称矩阵为正定矩阵。

正定二次型的平方项系数必须严格＞0。

定理：可逆线性变换x=Cy不改变二次型的正定性。

对一般的二次型，应设法作可逆变换x=Cy化成标准形(或规范形)，看平方项系数di是否均大于零→判断其正定性

定理：二次型f正定的充要条件 ↔

1）A的正惯性指数p=n 

2）A和单位矩阵E合同，即存在可逆矩阵C，使得C^TAC=E

3）A=D^TD，D是可逆矩阵

4）A的全部特征值λi都大于0

5）A的全部顺序主子式都大于0

定理：二次型f正定的必要条件

若二次型 x^TAx 正定→

(1) 矩阵A的主对角线上元素aii＞0       原理：平方项系数均大于0

(2) A的行列式|A|＞0       原理：全部特征值λi都大于0，|A|=λ1λ2λ3…

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题型：判别二次型的正定性

方法一：用特征值。由特征方程 |λE-A|=0 解出A的特征值λi，全部特征值都大于0→正定

方法二：用顺序主子式。解出矩阵A所有顺序主子式Δi，全部顺序主子式都大于0→正定

方法三：用配方法。化成标准形，求出正、负惯性指数，p=n→正定

题型：已知二次型（带参数）正定，求参数取值。

步骤

1、写出二次型矩阵A

2、写出A的全部顺序主子式，由于正定→全部顺序主子式都大于0，列出多个不等式，取交集(交汇)作为t的取值​​​​​​​

题型：给定矩阵A，作加减变形告知新矩阵(带参数)正定，求参数取值。

原理：矩阵正定→其全部特征值都大于0

关键：矩阵变形后的特征值怎么求​​​​​​​

步骤

1、先求出A的特征值。用特征方程 |λE-A|=0 

2、推出变形后新矩阵的特征值

3、列出多个不等式，取交集(交汇)作为参数的取值

例：

 矩阵A的合同标准形不是唯一的。

 合同标准形等同于规范形，就当成规范形来求！文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-536790.html

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