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🍁一、二叉树的相关性质：
🍁二、二叉树的存储结构：
🌕（一）、顺序储存（数组）
🌕（二）、衍生数据结构——堆：
⭐️1.堆的概念
⭐️2.堆的分类：
🌕（三）、堆的实现（顺序存储）
⭐️1.堆的定义：
⭐️2.堆的初始化：
⭐️3.堆的销毁
⭐️4.堆的打印：
⭐️5.插入数据：
⭐️6.删除数据：
⭐️7.取堆顶元素（取根节点）
⭐️8.判空
🌕（四）、堆排序
⭐️容易产生的错误想法：
⭐️正确的堆排序：
接上一篇文章，本次我们接着讲解关于二叉树的相关知识。
🍁一、二叉树的相关性质：
1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点.2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^(h-1)3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为n0 , 度为 2 的分支结点个数为n1 , 则有n0=n1+14. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h=
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：①. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号为： (i-1)/2 ； i=0； 若 i 为根节点编号，无双亲节点②. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1； 2i+1>=n 否则无左孩子③. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2； 2i+2>=n 否则无右孩子6.通过孩子找双亲：设孩子的编号为i，则其双亲的编号为A=(i-1)/2;根节点没有双亲；
🍁二、二叉树的存储结构：
🌕（一）、顺序储存（数组）
1.顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有 堆 才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
根据上述有几点性质：2. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：①. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号为： (i-1)/2 ； i=0； 若 i 为根节点编号，无双亲节点②. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1； 2i+1>=n 否则无左孩子③. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2； 2i+2>=n 否则无右孩子3.通过孩子找双亲：设孩子的编号为i，则其双亲的编号为A=(i-1)/2;根节点没有双亲；4.满二叉树或者完全二叉树适合用顺序存储，而非完全二叉树适合用链式存储；
🌕（二）、衍生数据结构——堆：
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
⭐️1.堆的概念
堆是一种非线性结构，是特殊的完全二叉树，所以适合用数组存储；
⭐️2.堆的分类：
小堆（小根堆）：树中任意父亲的值都小于等于其孩子；
大堆（大根堆）：树中任意父亲的值都大于等于其孩子；
如下图：
🌕（三）、堆的实现（顺序存储）
一般堆我们用顺序存储的方式实现，即用一维数组，所以定义与顺序表差不多，只是实现逻辑不一样，所以基本定义与销毁等操作就大致讲解。
⭐️1.堆的定义：
typedef int HPDatatype; typedef struct Heap { HPDatatype* a;//一维数组 int size;//现有元素个数 int capacity;//当前结构最大空间 }HP;
⭐️2.堆的初始化：
//初始化 void HPinit(HP* php) { assert(php); php->size = 0; php->capacity = 0; php->a = NULL; }
⭐️3.堆的销毁
//销毁 void HPDestroy(HP* php) { assert(php); free(php->a); php->a = NULL; php->size = 0; php->capacity = 0; }
⭐️4.堆的打印：
//打印 void HPprint(HP* php) { assert(php); for (int i = 0; i < php->size; i++) { printf("%d ", php->a[i]); } printf("\n"); }
⭐️5.插入数据：
因为堆是特殊的完全二叉树，所以插入算法与顺序表完全不同；
我们以实现小堆为例：
①：首先我们应该考虑是否堆满，根据我们定义所示，当size==capacity时即为堆满，此时我们需要进行扩容方式，因为只有此处可能进行扩容，所以不用单独分装成一个函数，扩容方式与之前的顺序表等等结构相似，所以小编不做多余讲解；
②：根据完全二叉树的顺序存储结构来看，我们知道数组的尾元素即为完全二叉树的尾元素，所以我们插入数据只需在数组的尾部进行插入，又因为堆是特殊的完全二叉树，小堆即双亲结点的值比其所有孩子的值要小，所以当数据插入后，还要将数据与其双亲进行比较，若不满足条件，我们要进行数据的交换，而且我们需要循环进行此操作，直到比较完根节点，又因为我们是不断在找双亲，所以我们称这种方法为“向上调整”，向上调整的前提是前面的结构已经是堆结构了。
③：我们既然要找双亲，所以我们需要牢记双亲结点与孩子结点之前的位置关系，即为上述的几条完全二叉树的性质，向上调整具体算法如下图：
④：时间复杂度为O(log以2为底的n),因为插入元素的时间复杂度为O(1),向上调整的最坏情况为调整至根结点，即完全二叉树的高度，为log以2为底的n；
⑤,源代码
//交换函数 void Swap(HPDatatype* p1, HPDatatype* p2) { HPDatatype tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } //向上调整 void AdjustUp(HPDatatype* a, int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { //以小堆为例插入数据 if (a[parent] > a[child]) { //交换位置 Swap(&a[parent],&a[child]); //比较完一组后重定位，向上调整 child = parent; parent = (parent - 1) / 2; } else { //插入结束 break; } } } //插入元素 void HPPush(HP* php, HPDatatype x) { assert(php); //扩容 if (php->size == php->capacity) { php->capacity = (php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2); HPDatatype* tmp = (HPDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HPDatatype) * php->capacity); //检查扩容 if (tmp == NULL) { perror("realloc"); return; } php->a = tmp; } //插入元素 php->a[php->size] = x; //检查是否需要向上调整 AdjustUp(php->a, php->size); php->size++; }
⭐️6.删除数据：
首先我们考虑一个问题，删除哪个元素有意义呐？
很明显，删除根节点最有意义，因为在大堆中，根节点是最大值；在小堆中，根节点是最小值；所以删除根节点比较有意义一些；
很多小伙伴可能会想，“删除根结点无非就是将数组元素挪动直接覆盖嘛”，答案是不行的，因为我们要清楚一点，堆结构只是孩子与双亲有关系，但孩子之间和兄弟之间是没有关系的，所以挪动数据覆盖元素可能会导致孩子或者兄弟错位，从而覆盖后可能就不是堆结构了；
下面介绍一种思路：上面插入数据用到“向上调整”，现在我们删除数据就用到“向下调整”；
向下调整思路（以小堆结构为例）：
①：先交换根结点和尾结点的值；
②：删除尾结点（数组总元素size减1）
③：再找出根结点的两个孩子中较小的孩子,然后交换双亲与较小孩子的值；
④：接着对双亲和孩子重定位，依次向下调整；
注意：其中很多细节应当尤其注意，如可能有些情况没有右孩子等等，具体思路看注释；
//向下调整 void AdjustDown(HPDatatype* a, int n, int parent) { int child = parent * 2 + 1; while (child<n) { //找出小孩子,同时要注意有没有右孩子，防止child+1越界 if (a[child] > a[child + 1]&&child+1<n) { child++; } //交换 if (a[child] < a[parent]) { Swap(&a[child], &a[parent]); //继续向下调整 parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } //删除元素 void HPPop(HP* php) { assert(php); //判断堆空 assert(php->size > 0); //交换首尾结点 Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]); //删除尾结点,因为是数组，所以直接将现有元素size-1不访问即可 --php->size; //向下调整 AdjustDown(php->a, php->size, 0); }
⭐️7.取堆顶元素（取根节点）
//取堆顶(取根结点) HPDatatype HPTop(HP* php) { assert(php); //判断是否为堆空 assert(php->size > 0); return php->a[0]; }
⭐️8.判空
//判空 bool HPEmpty(HP* php) { assert(php); return php->size == 0; }
🌕（四）、堆排序
⭐️容易产生的错误想法：
首先我们知道，将一组数据插入堆中，然后在依次取堆顶元素，就可以得到一组有序的数据，所以有小伙伴就想“堆排序是不是就是将数组的内容插入堆，然后在依次取堆顶存入数组”，如下：
int arr[7] = { 10,40,60,20,30,80,90 }; HP hp; //初始化堆 HPinit(&hp); //将数组元素插入堆 for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++) { HPPush(&hp, arr[i]); } int i = 0; while (!HPEmpty(&hp)) { //取最小元素（堆顶元素）存入数组 arr[i] = HPTop(&hp); //出堆后取到次小元素 HPPop(&hp); } HPDestroy(&hp);这样似乎有点道理，但这样写有两个缺陷：
⭐️正确的堆排序：
①：大家可以联想一下堆的存储就是二叉树的顺序存储，顺序存储不就是利用一维数组吗？所以我们可以将待排序数组看成一个普通的二叉树，还不是堆结构，所以接着我们就要想办法将此数组搞成一个堆结构，思路如下：
在之前我们的代码中已经埋下了一个“伏笔”，就是在插入数据的“向上调整算法”函数AdjustUp的第一个参数是指向数组内容的一级指针，而不是结构体指针；第二个参数是待向上调整的位置，所以我们就可以直接利用AdjustUp函数建堆：
//堆排序 void HeapSort(int* a, int n) { //建堆 for (int i = 0; i < n; i++) { AdjustUp(a, i); } //...... }这样就可以对待排序数组a的元素依次向上调整，并且不需要考虑扩容这些，最后数组a的元素就是一个堆的顺序存储；
②：既然是排序，我们就要考虑是升序还是降序的问题，那么大家思考一下，升序，降序分别用大堆还是小堆呐？
很多小伙伴都会想着上面错误想法中的思路，“升序就建小堆，这样依次取堆顶元素就是升序；降序就建小堆”；
答:但其实不是这样的,因为我们只是将待排序数组建成了堆的结构，但真正的堆的一系列操作我们是没有的，不能像上述完整的堆的思路循环Top、Pop、Top、Pop......,Top一次后剩下的数组就需要重新判断是否为一个堆结构，我们恰好是相反的操作：
需要升序，我们建大堆；
需要降序，我们建小堆；
以降序用小堆为例讲解思路：
小堆建立好后，我们将堆顶元素和堆尾元素进行交换，这样最小的元素不就跑到数组后面的了吗，然后我们将新的堆顶元素向Pop那样向下调整（代价为log(以2为底的n)），使其重新呈现一个新的小堆结构，然后又交换新的堆顶和堆尾元素，这样次小的元素就到倒数第二个位置了，依次循环操作，最后我们就可以得到一个降序的数组；
此算法总时间复杂度为：N*log（以2为底的N）；
//堆排序 void HeapSort(int* a, int n) { //建堆(以降序建小堆为例) for (int i = 0; i < n; i++) { AdjustUp(a, i); } //记录堆尾的下标 int end = n - 1; //开始排序 while (end > 0) { //交换堆顶和堆尾 Swap(&a[0],&a[end]); //向下调整 AdjustDown(a, end, 0); end--; } //打印数组 for (int i = 0; i < n; i++) { printf("%d ", a[i]); } printf("\n"); }
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-757954.html
向下调整建堆：2023_09_10二叉树00：00
本次知识到此结束，希望对你有所帮助。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-757954.html
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