数学建模之模拟退火法（SA）

1. 1. 算法介绍

模拟退火算法（SA）是一种模拟物理退火过程而设计的优化算法。

它的基本思想最早在1953年就被Metropolis提出，但直到1983年，Kirkpatrick等人才设计出真正意义上的模拟退火算法并进行应用。

模拟退火算法采用类似于物理退火的过程。先在一个高温状态下，然后逐渐退火，在每个温度下慢慢冷却，最终达到物理基态（相当于算法找到最优解）。

1. 1. 算法应用

求解TSP问题、求最值、全局优化、生产调度、控制工程、机器学习、信号处理等问题。

1. 1. 算法特性

模拟退火算法源于对固体退火过程的模拟，采用Metropolis准则，并用一组称为冷却进度表的参数控制算法的进程，使得算法在多项式时间里可以给出一个近似最优解。

模拟退火算法在某一初温下，伴随温数的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解。即在局部最优解的空间内能概率性地跳出并最终趋于全局最优。（不在局限于局部最优）

1. 1. 算法名词解释

退火：将固体加热到足够高的温度，使分子呈随机排列状态，保持足够的时间，然后以适宜的速度逐步降温。使之冷却，最后分子以低能状态排列，固体达到内能最小的稳定状态。（加温—等温—冷却）

1. 1. 1. 退火过程：

1、在初始状态，固体内部的粒子存在非均匀状态。

2、加热到一定温度，增强其粒子的热运动，使粒子偏离其平衡位置，消除原来的非均匀状态。

3、让温度慢慢降低，达到热平衡状态，粒子逐渐均匀有序，最终达到内能最小的状态。

1. 1. 算法步骤

1.设定当前解（即为当前的最优解）：令T= ，即开始退火的初始温度，随机生成一个初始解 ，并计算相应的目标函数值E( )。

2.产生新解与当前解差值：根据当前解进行扰动，产生一个新解 ,计算相应的目标函数值E( ),得到𝜟𝑬=𝑬( )−𝑬( )。

3.判断新解是否被接受：若𝜟𝑬<𝟎，则新解 被接受；若𝜟𝑬>𝟎，则新解 按概率接受， 为当前温度。

4.当新解被确定接受时：新解 被作为当前解。

5.循环以上四个步骤：在温度 下，重复k次的扰动和接受过程，接着执行下一步骤。

6.最后找到全局最优解：判断T是否已经达到终止温度 ，是，则终止算法；否，则转到循环步骤继续执行。

1. 1. 1. 冷却进度表

退火过程由一组初始参数，即冷却进度表控制。它的目的是尽量使系统达到平衡，以使算法在有限的时间内逼近最优解。

冷却进度表包括：

1.控制温度参数的初值T0

2.控制温度T的衰减函数(温度的更新)

3.马尔科夫链的的长度Lk（迭代次数）

4.控制参数T的终值(停止准则)

1. 1. 模拟退火算法的优缺点

优点：

高效地求解NP完全问题（如TSP问题，0-1背包问题等）。

相较于其他非线性与优化算法，模拟退火算法编程工作量小且易于实现。

缺点：

使用不当，可能会陷入局部最优

参数难以控制，所得结果可能为接近最优解但并非最优解。

1. 1. 案例1：求解TSP问题

问题描述：现有34个城市，已知其坐标；从其中某一城市作为起点出发，途径其他的所有城市，然后回到起点，要求走过的距离最短。

 结果如下所示：

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